TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 55

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie \limsup_{n \to \infty} a_n und \liminf_{n \to \infty} a_n der Folge a_n:


a_n = (-1)^n n^{(-1)^\frac{n(n+1)}{2} + 1} + \cos n\pi/2

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Der Teil (-1)^n ist abwechselnd -1 (für ungerade n) und 1 (für gerade n).

Der Teil \cos n\pi/2 wiederholt sich alle vier Glieder: 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, \dots

Der Teil n^{(-1)^{n(n+1)/2} + 1} wiederholt sich ebenfalls alle vier Glieder: n^2, n^0, n^0, n^2, n^2, n^0, n^0, n^2, \dots

Ähnlich wie bei Beispiel 56 unterscheiden wir daher vier Fälle für n \mod 4

Für n \mod 4 = 0 ist a_n = 1 \cdot n^2 + 1. Diese Teilfolge konvergiert gegen \infty.

Für n \mod 4 = 1 ist a_n = - 1 \cdot n^0 + 0 = \text{-}1. Diese Teilfolge konvergiert gegen -1.

Für n \mod 4 = 2 ist a_n = 1 \cdot n^0 - 1 = 0 . Diese Teilfolge konvergiert gegen 0.

Für n \mod 4 = 3 ist a_n = -1 \cdot n^2 + 0. Diese Teilfolge konvergiert gegen -\infty.

Daher gilt \lim \inf = -\infty, \lim \sup = \infty, und die Häufungspunkte sind \infty, -\infty, 0, -1

Anmerkung: ich glaub in der angabe ist ein fehler, Der Teil \cos 2\pi/2 sollte doch \cos n\pi/2 sein

EDIT: Korrigiert