TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 56

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie $\limsup _{n\to \infty }a_{n}$ und $\liminf _{n\to \infty }a_{n}$ der Folge $a_{n}$:

$a_{n}={\frac {n^{2}\cos {\frac {n\pi }{2}}+1}{n+1}}+\sin {\frac {(2n+1)\pi }{2}}$

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Lösungsvorschlag

Hier ist wichtig zu wissen, dass $\sin$ und $\cos$ sich nach $2\pi$ wiederholen. Das heißt, es reicht, eine Fallunterscheidung für 4 Fälle zu machen, und deckt damit die Folge vollständig ab.

$n=0$: $\cos(n{\frac {\pi }{2}})=1$, $\sin {\frac {(2n+1)\pi }{2}}=1$

$n=1$: $\cos(n{\frac {\pi }{2}})=0$, $\sin {\frac {(2n+1)\pi }{2}}=-1$

$n=2$: $\cos(n{\frac {\pi }{2}})=-1$, $\sin {\frac {(2n+1)\pi }{2}}=1$

$n=3$: $\cos(n{\frac {\pi }{2}})=0$, $\sin {\frac {(2n+1)\pi }{2}}=-1$

$n=0\mod 4$

$a_{n}={\frac {n^{2}1+1}{n+1}}+1$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n(n+{\frac {1}{n}})}{n(1+{\frac {1}{n}})}}+1=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+{\frac {1}{n}}}{1+{\frac {1}{n}}}}+1={\frac {\infty +0}{1+0}}+1=\infty$

$n=1\mod 4$

$a_{n}={\frac {n^{2}0+1}{n+1}}-1$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}-1=-1$

$-1$ ist also ein Häufungspunkt.

$n=2\mod 4$

$a_{n}={\frac {n^{2}(-1)+1}{n+1}}+1$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {-1+{\frac {1}{n^{2}}}}{{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}}}=-\infty$

$-\infty$ ist also ein (unechter) Häufungspunkt. [meiner Meinung nach genauso auszuführen wie bei n=0]

$n=3\mod 4$

$a_{n}={\frac {n^{2}0+1}{n+1}}-1$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}-1=-1$

$-1$ ist also ein Häufungspunkt.

Zusammengefasst gilt also:

• $\limsup _{n\to \infty }a_{n}=\infty$
• $\liminf _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$
• Häufungspunkte: $-\infty ,-1,\infty$

-- Berti933 (Diskussion) 16:59, 15. Apr. 2015 (CEST)

Anmerkung

Nachdem die Folge periodisch auf und ab geht und die Amplitude stetig steigt (uneigentlich konvergent gegen + und - unendlich), müssten doch sämtliche reelle Zahlen Häufungswerte sein?

Siehe auch Matheboard: [1]

Nein, es sind nicht alle rellen Zahlen Häufungspunkte, da wir mit der Folge nicht alle Indizes darstellen, sondern nur die natürlichen Zahlen. Diese liefern konkrete Punkte, die entweder direkt auf -1 liegen oder gegen +- unendlich konvergieren.

Lösungsvorschlag von Padraig

Siehe auch https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_2_2022S.pdf für meinen eher ausführlich erklärten Lösungsvorschlag.