TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 76

Man untersuche die Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\geq 0}{\frac {2n^{2}+1}{n^{4}+2}}$

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Hilfreiches

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_{n}$ konvergent und $\left|a_{n}\right|\leq b_{n}$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Lösungsvorschlag

Mit Hilfe des Majorantenkriteriums kann man zeigen, dass die Reihe absolut konvergent ist.

${\frac {2n^{2}+1}{n^{4}+2}}\leq {\frac {2n^{2}+n^{2}}{n^{4}}}={\frac {3n^{2}}{n^{4}}}={\frac {3}{n^{2}}}\leq 3{\frac {1}{n(n+1)}}$

Nach dem wir wissen, dass $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n(n+1)}}=1$ ist (Buch Beispiel 4.38), können wir das als $b_{n}$ annehmen und mit Hilfe des Majorantenkriteriums argumentieren, dass somit auch die gegebene Reihe absolut konvergent ist.

-- Berti933 (Diskussion) 17:07, 15. Apr. 2015 (CEST)

Lösungsvorschlag 2

${\frac {3}{n^{2}}}=3*{\frac {1}{n^{2}}}$ ist die Hyper-harmonische Reihe, die für $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}},\alpha >1$ konvergiert.

Als Abschätzung: ${\frac {2n^{2}+1}{n^{4}}}=2*{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{4}}}$, wobei beide konvergierende Hyper-harmonische Reihen sind.

${\frac {2n^{2}+1}{n^{4}+2}}\leq {\frac {2n^{2}+1}{n^{4}}}$ | Kreuzweise Ausmultiplizieren

$2n^{6}+n^{4}\leq 2n^{6}+n^{4}+4n^{2}+2$ | - linke Seite

$0\leq 4n^{2}+2$, wahr für $n\geq 0$

D.h. die gegebene Reihe konvergiert absolut.

--Cptwunderlich (Diskussion) 12:39, 17. Jun. 2015 (CEST)