TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 76

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\ge 0}\frac{2\cdot n^2+1}{n^4+2}$.

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Hilfreiches

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_n$ konvergent und $\left|a_n\right|\le b_n$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Lösungsvorschlag

Mit Hilfe des Majorantenkriteriums kann man zeigen, dass die Reihe absolut konvergent ist.

$\frac{2n^2+1}{n^4+2}\le \frac{2n^2+n^2}{n^4}=\frac{3n^2}{n^4}=\frac{3}{n^2}\le 3\frac{1}{n(n+1)}$

Nach dem wir wissen, dass $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n(n+1)}=1$ ist (Buch Beispiel 4.38), können wir das als $b_n$ annehmen und mit Hilfe des Majorantenkriteriums argumentieren, dass somit auch die gegebene Reihe absolut konvergent ist.

-- Berti933 (Diskussion) 17:07, 15. Apr. 2015 (CEST)

Lösungsvorschlag 2

$\frac{3}{n^2}=3\ast \frac{1}{n^2}$ ist die Hyper-harmonische Reihe, die für $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^{\alpha }},\alpha >1$ konvergiert.

Als Abschätzung: $\frac{2n^2+1}{n^4}=2\ast \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}$, wobei beide konvergierende Hyper-harmonische Reihen sind.

$\frac{2n^2+1}{n^4+2}\le \frac{2n^2+1}{n^4}$ | Kreuzweise Ausmultiplizieren

$2n^6+n^4\le 2n^6+n^4+4n^2+2$ | - linke Seite

$0\le 4n^2+2$, wahr für $n\ge 0$

D.h. die gegebene Reihe konvergiert absolut.

--Cptwunderlich (Diskussion) 12:39, 17. Jun. 2015 (CEST)

Hilfreiches von Har203

Unendliche Reihen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 76.

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergent, dann gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_n$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_n\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" $\left\{\begin{array}{c}\Rightarrow \\ \underset{i.A.}{\nLeftarrow }\end{array}\right\}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_n$ konvergent und $\left|a_n\right|\le b_n$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Harmonische Reihe

Die harmonischen Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$   (Beispiel 4.36)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 22:41, 24. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\ge 0}\frac{2\cdot n^2+1}{n^4+2}$.

Wohldefiniert

Der Nenner des Bruches $n^4+2$ ist für alle $n\in {\mathbb{N}}_0$ ungleich $0$. Damit sind alle Reihenglieder wohldefiniert.

Folge

Die Folge der Reihenglieder ist eine Nullfolge:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2\cdot n^2+1}{n^4+2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2\cdot 1+\frac{1}{n^2}}{n^2+\frac{2}{n^2}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{n^2}\to 0$.

Betrachten wir die ersten Reihenglieder von $a_n=\frac{2\cdot n^2+1}{n^4+2}:$

$\begin{array}{cc}& a_0=\frac{1}{2},a_1=\frac{3}{3}=1,a_2=\frac{9}{18}=\frac{1}{2},a_3=\frac{19}{83},(a_3/a_2)=\frac{19}{83}/\frac{1}{2}=(38/83)\approx 0,45783.\end{array}$

Majorante

$\begin{array}{cc}& \frac{2\cdot n^2+1}{n^4+2}\le \frac{2\cdot n^2+n^2}{n^4+2}\le \frac{3\cdot n^2}{n^4}=\frac{3}{n^2},\mathrm{\forall }n\ge 1\end{array}$

Der Fall $n=0$ wird separat behandelt, da die Abschätzung nur für $n\ge 1$ gilt.

$\frac{2\cdot n^2+1}{n^4+2}\le \frac{3}{n^2},\mathrm{\forall }n\ge 1$.

Für $\frac{1}{k^{\alpha }}$ mit $\alpha =2$ (siehe Basler Problem (Euler)):

$S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{\alpha }}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$

$⟹T=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\cdot n^2+1}{n^4+2}\le a_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3}{k^2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\frac{3}{3^2}+\frac{3}{4^2}+\cdots =\frac{1}{2}+3\cdot \frac{{\pi }^2}{6}=\frac{1}{2}\cdot (1+{\pi }^2)$.

$⟹$ Die Reihe konvergiert absolut. $◼$

Links

Wikipedia:

• Reihe
• Majorantenkriteriumm
• Allgemeine harmonische Reihe
• Basler Problem (Euler)

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