TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 76

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Man untersuche die Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n \ge 0} \frac{2n^2 + 1}{n^4 + 2}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Majorantenkriterium[Bearbeiten, WP, 4.47 Satz]

Wenn \sum b_n konvergent und \left|a_n\right|\leq b_n\;\forall n, dann ist \sum a_n absout konvergent.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Mit Hilfe des Majorantenkriteriums kann man zeigen, dass die Reihe absolut konvergent ist.

\frac{2n^2 + 1}{n^4 + 2} \ge \frac{2n^2 + n^2}{n^4} = \frac{3 n^2}{n^4} = \frac{3}{n^2} \ge 3 \frac{1}{n(n-1)}

Nach dem wir wissen, dass \sum_{n \ge 2} \frac{1}{n(n-1)} = 1 ist (Partialsummenfolge bilden; siehe auch Buch Mathematik für Informatik), können wir das als b_n annehmen und mit Hilfe des Majorantenkriteriums argumentieren, dass somit auch die gegebene Reihe absolut konvergent ist.

-- Berti933 (Diskussion) 17:07, 15. Apr. 2015 (CEST)

Lösungsvorschlag 2[Bearbeiten]

Der Kollege hat oben die "kleiner oder gleich"-Zeichen mit "größer oder gleich"-Zeichen vertauscht. (der rechte Zähler ist größer und die gegebene Reihe ist ja nicht die Majorante)
Außerdem ist \frac{3}{n^2} = 3*\frac{1}{n^2} die Hyper-harmonische Reihe, die für \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^\alpha}, \alpha > 1 konvergiert.

Als Abschätzung: \frac{2n^2+1}{n^4} = 2*\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4}, wobei beide konvergierende Hyper-harmonische Reihen sind.

\frac{2n^2 + 1}{n^4 + 2} \leq \frac{2n^2+1}{n^4} | Kreuzweise Ausmultiplizieren

2n^6 + n^4 \leq 2n^6+n^4+4n^2+2 | - linke Seite

0 \leq 4n^2+2, wahr für n \geq 0


D.h. die gegebene Reihe konvergiert absolut.

--Cptwunderlich (Diskussion) 12:39, 17. Jun. 2015 (CEST)