TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 76

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\geq 0}{\frac {2\cdot n^{2}+1}{n^{4}+2}}$.

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Hilfreiches

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_{n}$ konvergent und $\left|a_{n}\right|\leq b_{n}$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Lösungsvorschlag

Mit Hilfe des Majorantenkriteriums kann man zeigen, dass die Reihe absolut konvergent ist.

${\frac {2n^{2}+1}{n^{4}+2}}\leq {\frac {2n^{2}+n^{2}}{n^{4}}}={\frac {3n^{2}}{n^{4}}}={\frac {3}{n^{2}}}\leq 3{\frac {1}{n(n+1)}}$

Nach dem wir wissen, dass $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n(n+1)}}=1$ ist (Buch Beispiel 4.38), können wir das als $b_{n}$ annehmen und mit Hilfe des Majorantenkriteriums argumentieren, dass somit auch die gegebene Reihe absolut konvergent ist.

-- Berti933 (Diskussion) 17:07, 15. Apr. 2015 (CEST)

Lösungsvorschlag 2

${\frac {3}{n^{2}}}=3*{\frac {1}{n^{2}}}$ ist die Hyper-harmonische Reihe, die für $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}},\alpha >1$ konvergiert.

Als Abschätzung: ${\frac {2n^{2}+1}{n^{4}}}=2*{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{4}}}$, wobei beide konvergierende Hyper-harmonische Reihen sind.

${\frac {2n^{2}+1}{n^{4}+2}}\leq {\frac {2n^{2}+1}{n^{4}}}$ | Kreuzweise Ausmultiplizieren

$2n^{6}+n^{4}\leq 2n^{6}+n^{4}+4n^{2}+2$ | - linke Seite

$0\leq 4n^{2}+2$, wahr für $n\geq 0$

D.h. die gegebene Reihe konvergiert absolut.

--Cptwunderlich (Diskussion) 12:39, 17. Jun. 2015 (CEST)

Hilfreiches von Har203

Unendliche Reihen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 76.

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergent, dann gilt $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_{n}$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_{n}\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" ${\begin{Bmatrix}\Rightarrow \\{\underset {i.A.}{\nLeftarrow }}\end{Bmatrix}}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_{n}$ konvergent und $\left|a_{n}\right|\leq b_{n}$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Harmonische Reihe

Die harmonischen Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$   (Beispiel 4.36)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 22:41, 24. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\geq 0}{\frac {2\cdot n^{2}+1}{n^{4}+2}}$.

Wohldefiniert

Der Nenner des Bruches $n^{4}+2$ ist für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$ ungleich $0$. Damit sind alle Reihenglieder wohldefiniert.

Folge

Die Folge der Reihenglieder ist eine Nullfolge:

$\lim _{n\to \infty }\,{\frac {2\cdot n^{2}+1}{n^{4}+2}}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {2\cdot 1+{\frac {1}{n^{2}}}}{n^{2}+{\frac {2}{n^{2}}}}}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {2}{n^{2}}}\to 0$.

Betrachten wir die ersten Reihenglieder von $a_{n}={\frac {2\cdot n^{2}+1}{n^{4}+2}}\colon$

${\begin{alignedat}{1}&a_{0}={\frac {1}{2}},\quad a_{1}={\frac {3}{3}}=1,\quad a_{2}={\frac {9}{18}}={\frac {1}{2}},\quad a_{3}={\frac {19}{83}},\quad (a_{3}/a_{2})={\frac {19}{83}}/{\frac {1}{2}}=(38/83)\approx 0,45783.\end{alignedat}}$

Majorante

${\begin{alignedat}{1}&{\frac {2\cdot n^{2}+1}{n^{4}+2}}\leq {\frac {2\cdot n^{2}+n^{2}}{n^{4}+2}}\leq {\frac {3\cdot n^{2}}{n^{4}}}={\frac {3}{n^{2}}},\,\forall \,n\geq 1\end{alignedat}}$

Der Fall $n=0$ wird separat behandelt, da die Abschätzung nur für $n\geq 1$ gilt.

${\frac {2\cdot n^{2}+1}{n^{4}+2}}\leq {\frac {3}{n^{2}}},\,\forall \,n\geq 1$.

Für ${\frac {1}{k^{\alpha }}}\,$ mit $\alpha =2$ (siehe Basler Problem (Euler)):

$S=\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\implies T=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {2\cdot n^{2}+1}{n^{4}+2}}\leq a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {3}{k^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{1^{2}}}+{\frac {3}{2^{2}}}+{\frac {3}{3^{2}}}+{\frac {3}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}+3\cdot {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{2}}\cdot (1+\pi ^{2})$.

$\implies$ Die Reihe konvergiert absolut. $\quad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Reihe
• Majorantenkriteriumm
• Allgemeine harmonische Reihe
• Basler Problem (Euler)

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