TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 222

Man berechne ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x$.

(Anleitung: Zum Integrieren wähle man die Substitution $u=\sqrt{x-1}$. Ferner beachte

man, dass das angegebene Integral sowohl bei $x=1$ als auch bei $x=\mathrm{\infty }$ uneigentlich ist.)

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

$u=\sqrt{x-1}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}u& =\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x\\ 2\mathrm{d}u& =\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-1}}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\int \frac{1}{x\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x& =\int \frac{1}{(1+x-1)\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{(1+{\sqrt{x-1}}^2)\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{1+u^2}2\mathrm{d}u\\ & =2\int \frac{1}{1+u^2}\mathrm{d}u\\ & =2\arctan u+C\\ & =2\arctan \sqrt{x-1}+C\end{array}$

Da das angegebene Integral sowohl bei $x=1$ als auch bei $x=\mathrm{\infty }$ uneigentlich ist, nehmen wir einen beliebigen Wert $z$, bei dem der Funktionswert definiert ist, um das Integral aufzuteilen.

$\begin{array}{cc}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x& =\underset{c_1\to 1}{lim}{2\arctan \sqrt{x-1}|}_{c_1}^z+\underset{c_2\to \mathrm{\infty }}{lim}{2\arctan \sqrt{x-1}|}_z^{c_2}\\ & =\underset{c_1\to 1}{lim}(2\arctan \sqrt{z-1}-2\arctan \sqrt{c_1-1})+\underset{c_2\to \mathrm{\infty }}{lim}(2\arctan \sqrt{c_2-1}-2\arctan \sqrt{z-1})\\ & =2\arctan \sqrt{z-1}-\underset{c_1\to 1}{lim}(2\arctan \sqrt{c_1-1})+\underset{c_2\to \mathrm{\infty }}{lim}(2\arctan \sqrt{c_2-1})-2\arctan \sqrt{z-1}\\ & =-\underset{c_1\to 1}{lim}(2\arctan \sqrt{c_1-1})+\underset{c_2\to \mathrm{\infty }}{lim}(2\arctan \sqrt{c_2-1})\\ & =-0+2\frac{\pi }{2}\\ & =\pi \end{array}$

Quelle

Karigl Beispielsammlung SS06 Beispiel 55

Links

Siehe auch: Übungen WS07/Beispiel 24