TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 22

Mit Hilfe des Newton'schen Näherungsverfahrens bestimme man eine in der Nähe von $(a)x_0=4$ bzw. $(b)x_0=-1$ gelegene Nullstelle der Funktion $f(x)=e^{-2x}+\frac{x^2}{2}-7$.

Vorwissen

Newton'sches Näherungsverfahren $x_{n+1}=x-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

Für Ableitungen: [Zusammenfassung der Regeln]

Lösungsvorschlag von bisam

Zuerst Ableitung von f(x) machen:

$f(x)=e^{-2x}+\frac{1}{2}{x}^2-7$

$f^{\prime }(x)=-2e^{-2x}+x$

Dann das Newton'sches Näherungsverfahren mit $x_{n+1}=x_n-\frac{e^{-2x_n}+\frac{x_n^2}{2}-7}{-2e^{-2x_n}+x_n}$ anwenden.

Beispiel a)

Startwert: $x_0=4$

x1      f(x) = 1.00033546263 = $e^{-2\ast 4}+\frac{4^2}{2}-7$
        f'(x) = 3.99932907474 = $-2e^{-2\ast 4}+4$
x1 = 4-(1.00033546263/3.99932907474) = 3.74987418041

x2      f(x) = 0.0313314080181
        f'(x) = 3.74876773328
x2 = 3.74987418041-(0.0313314080181/3.74876773328) = 3.74151639187

x3      f(x) = 3.5004053144E-5
        f'(x) = 3.7403912944
x3 = 3.74151639187-(3.5004053144E-5/3.7403912944) = 3.74150703348

x4      f(x) = 5.6547655447E-11
        f'(x) = 3.74038191495
x4 = 3.74150703348-(5.6547655447E-11/3.74038191495) = 3.74150703346

-> 3.741507

Beispiel b)

x1 	f(x) = 0.889056098931 = $e^{-2\ast -1}+\frac{-1^2}{2}-7$
        f'(x) = -15.7781121979 = $-2e^{-2\ast -1}-1$
x1 = -1-(0.889056098931/-15.7781121979) = -0.943652568331

x2 	f(x) = 0.0467944862283
        f'(x) = -14.1467613711
x2 = -0.943652568331-(0.0467944862283/-14.1467613711) = -0.940344780421

x3 	f(x) = 0.0001496139893
        f'(x) = -14.0563957023
x3 = -0.940344780421-(0.0001496139893/-14.0563957023) = -0.940334136584

x4 	f(x) = 1.54720591894E-9
        f'(x) = -14.0561058513
x4 = -0.940334136584-(1.54720591894E-9/-14.0561058513) = -0.940334136474

-> -0.940334

Zur Veranschaulichung und Überprüfung kann mensch ja noch versuchen sich den Graphen ausgeben zu lassen...

Lösung aus Karigl 2004

• Lösung aus 2004

Ähnliche Beispiele

TU_Wien:Mathematik_2_UE_(diverse)/Übungen_SS06/Auflösung_von_Gleichungen_und_Gleichungssystemen_5

Links

• [Online-Tool für Newton'sche Methode]
• [zur graphischen Ausgabe von Funktionen]