TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 75

Man zeige, dass der Logarithmus $\ln x$ für $x\to \mathrm{\infty }$ schwächer wächst als jede positive Potenz $x^{\alpha }$ von $x$ ($\alpha >0$).

Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_0$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_0)=g(x_0)=0$ und
• existiert $\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\right)$,

so gilt: $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \mathrm{\infty }$, oder auch falls $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$.

Lösungsvorschlag

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln x}{x^{\alpha }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{x}}{\alpha \cdot x^{\alpha -1}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\alpha \cdot x^{\alpha -1}\cdot x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\alpha \cdot x^{\alpha }}=0$