TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 75

Man zeige, dass der Logarithmus $\ln x$ für $x\to \infty$ schwächer wächst als jede positive Potenz $x^{\alpha }$ von $x$ ($\alpha >0$).

Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_{0}$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ und
• existiert $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)$,

so gilt: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \infty$, oder auch falls $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$.

Lösungsvorschlag

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x^{\alpha }}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{x}}{\alpha \cdot x^{\alpha -1}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\alpha \cdot x^{\alpha -1}\cdot x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\alpha \cdot x^{\alpha }}}=0$