TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS15/Beispiel 62

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 61. Vergleich

Angabe

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n(n+2)}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n(n+2)}}=3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+2)}}$

Partialbruchzerlegung:

${\frac {1}{n(n+2)}}={\frac {A}{n}}+{\frac {B}{n+2}}$

$1=A(n+2)+B(n)$

$1=An+2A+Bn$

$1=n(A+B)+2A$ Die Folge läuft von 1 gegen unendlich: $\forall n\geq 1$

Wir wählen n=1 und setzen ein:

$n=1:1=(A+B)+2A$

$A={\frac {1}{2}}$

$B=-{\frac {1}{2}}$

d.h.

${\frac {1}{n(n+2)}}={\frac {\frac {1}{2}}{n}}-{\frac {\frac {1}{2}}{n+2}}={\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{2(n+2)}}$

Eingesetzt in unsere ursprüngliche Folge:

$3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+2)}}=3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{2(n+2)}}$

Sehen wir uns die Teleskopsumme an:

$3*({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{12}}+...+{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2(n+2)}}$

Wie man unschwer erkennen kann (man, das wollte ich schon immer mal sagen!) kürzen sich alle Summanden außer ${\frac {1}{2}}$ und ${\frac {1}{4}}$ weg, d.h. es bleibt ${\frac {3}{4}}$ stehen.

D.h. Insgesamt: $3*\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{2(n+2)}})=3*{\frac {3}{4}}={\frac {9}{4}}=2{\frac {1}{4}}=2,25$