TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 61

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar).

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n(n+2)}}$.

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsweg

Zuerst bestimmt man sich die Partialbruchzerlegung des Summanden...

${\frac {3}{n(n+2)}}={\frac {A}{n}}+{\frac {B}{n+2}}$

$3=(n+2)\cdot A+n\cdot B=2A+n\cdot (A+B)$

Nun muss das $n$ verschwinden, also schreiben wir die die Gleichungen $3=2\cdot A$ und $0=A+B$.
Die Werte für A und B kann man jetzt entweder sofort sehen, ausprobieren oder mit ein bisschen Pseudo-Gauss lösen:

${\begin{array}{ccc}2&0&3\\1&1&0\end{array}}\underbrace {\rightarrow } _{2.\ Zeile-{\frac {1}{2}}\cdot 1.\ Zeile}{\begin{array}{ccc}2&0&3\\0&1&-{\frac {3}{2}}\end{array}}\underbrace {\rightarrow } _{1.\ Zeile\ durch\ zwei}{\begin{array}{ccc}1&0&{\frac {3}{2}}\\0&1&-{\frac {3}{2}}\end{array}}$

Im letzten Schritt kann man nun direkt $A={\frac {3}{2}}$ und $B=-{\frac {3}{2}}$ ablesen.

$\Rightarrow {\frac {3}{n(n+2)}}={\frac {3}{2n}}-{\frac {3}{2(n+2)}}$

$\Rightarrow {\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+2}})$

Wenn man sich diese Partialsumme nun ansieht, erkennt man, dass sich viele Werte wieder gegenseitig aufheben. Man nennt das eine Teleskopsumme:

$s_{n}={\frac {3}{2}}\sum _{n\geq 1}({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+2}})={\frac {3}{2}}\cdot (1{\color {Blue}-{\frac {1}{\underbrace {1+2} _{=3}}}}+{\frac {1}{2}}{\color {Red}-{\frac {1}{4}}}{\color {Blue}+{\frac {1}{3}}}{\color {Green}-{\frac {1}{5}}}{\color {Red}+{\frac {1}{4}}}{\color {Cyan}-{\frac {1}{6}}}{\color {Green}+{\frac {1}{5}}}{\color {Brown}-{\frac {1}{7}}}+\cdots {\color {Cyan}+{\frac {1}{n-1}}}-{\frac {1}{n+1}}{\color {Brown}+{\frac {1}{n}}}-{\frac {1}{n+2}})=$
$={\frac {3}{2}}\cdot (\underbrace {1+{\frac {1}{2}}} _{={\frac {3}{2}}}-{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}})$

Von diesem Ausdruck aus lässt sich dann auch sehr einfach der Grenzwert berechnen:

$\lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {3}{2}}\cdot ({\frac {3}{2}}-\underbrace {\frac {1}{n+1}} _{\rightarrow 0}-\underbrace {\frac {1}{n+2}} _{\rightarrow 0})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}={\frac {9}{4}}=2.25$

Letztendlich gilt:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n(n+2)}}=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}={\frac {9}{4}}=2.25$

Hilfreiches von Har203

Unendliche Reihen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 61.

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 00:10, 23. Mär. 2026 (CET)

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar).

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n\cdot (n+2)}}=$.

Folge

Wir werden zuerst eine Folge der Partialsummen erstellen.

Dafür werden wir die Reihenglieder mittels Partialbruchzerlegung in einzelne Terme aufteilen. Wir wollen herausfinden, ob die Reihe eine Teleskopsumme ist. Dabei heben sich beim Aufsummieren viele Terme gegenseitig auf und es bleiben Terme ganz am Anfang der Reihe und ganz am Ende übrig.

PBZ von $a_{n}={\frac {3}{n\cdot (n+2)}}\colon$

${\begin{alignedat}{1}&a_{n}={\frac {a}{n}}+{\frac {b}{n+2}}={\frac {a\cdot n+a\cdot 2+b\cdot n}{n\cdot (n+2)}}={\frac {(a+b)\cdot n+(a\cdot 2)}{n\cdot (n+2)}}=\\&\quad ={\frac {3}{n\cdot (n+2)}}\implies a\cdot 2=3\implies a={\frac {3}{2}}\quad \land \quad b={\frac {-3}{2}}\\\end{alignedat}}$

Die PBZ ist somit ${\frac {3}{2\cdot (n)}}-{\frac {3}{2\cdot (n+2)}}$.

Wir betrachten nun die ersten Folgenglieder der Partialsummen der vorgegebenen Reihe:

${\begin{alignedat}{1}&a_{1}=&{\frac {3}{2\cdot 1}}&{\color {green}-{\frac {3}{2\cdot 3}}}\qquad \qquad &a_{2}=&{\frac {3}{2\cdot 2}}&{\color {blue}-{\frac {3}{2\cdot 4}}}\qquad \qquad &a_{3}=&{\color {green}{\frac {3}{2\cdot 3}}}&{\color {orange}-{\frac {3}{2\cdot 5}}}\qquad \qquad &a_{4}=&{\color {blue}{\frac {3}{2\cdot 4}}}&{\color {red}-{\frac {3}{2\cdot 6}}}\\&a_{5}=&{\color {orange}{\frac {3}{2\cdot 5}}}&{\color {violet}-{\frac {3}{2\cdot 7}}}\qquad \qquad &a_{6}=&{\color {red}{\frac {3}{2\cdot 6}}}&-{\frac {3}{2\cdot 8}}\qquad \qquad &a_{7}=&{\color {violet}{\frac {3}{2\cdot 7}}}&-{\frac {3}{2\cdot 9}}\\\end{alignedat}}$

Wir haben hier die Auslöschung von Folgenteilen zwar nicht direkt bei den benachbarten Glieder, sondern wir können erkennen, dass der rechte Teil von $a_{1}$ durch den linken Teil von $a_{3}$ subtrahiert wird, etc.

Schauen wir uns an, was für eine Partialsumme $s_{n}$ als Folgenteile übrigbleiben:

${\begin{alignedat}{1}&{\text{Von}}\colon \;a_{1}\colon \;{\frac {3}{2\cdot 1}}\qquad {\text{Von}}\colon \;a_{2}\colon \;{\frac {3}{2\cdot 2}}\qquad {\text{Von}}\colon \;a_{n-1}\colon \;-{\frac {3}{2\cdot (n+1)}}\qquad {\text{Von}}\colon \;a_{n}\colon \;-{\frac {3}{2\cdot (n+2)}}\\\end{alignedat}}$

Wir erstellen nun eine Formel für die Partialsummen $s_{n}\colon$

${\begin{alignedat}{1}&s_{n}={\frac {3}{2\cdot 1}}+{\frac {3}{2\cdot 2}}-{\frac {3}{2\cdot (n+1)}}-{\frac {3}{2\cdot (n+2)}}=\\[1em]&\quad ={\frac {6\cdot (n+1)\cdot (n+2)+3\cdot (n+1)\cdot (n+2)-6\cdot (n+2)-6\cdot (n+1)}{4\cdot (n+1)\cdot (n+2)}}=\\[1em]&\quad ={\frac {9\cdot n^{2}+15\cdot n}{4\cdot (n+1)\cdot (n+2)}}={\color {green}{\frac {3\cdot n\cdot (3\cdot n+5)}{4\cdot (n+1)\cdot (n+2)}}}\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{1}&{\text{Für}}\colon \;a_{1}\colon \;s_{1}=a_{1}=1&s_{1}={\frac {24}{24}}=1\quad {\color {green}\surd }\\&{\text{Für}}\colon \;a_{2}\colon \;s_{2}=s_{1}+a_{2}=1+{\frac {3}{8}}={\frac {11}{8}}&s_{2}={\frac {66}{48}}={\frac {33}{24}}={\frac {11}{8}}\quad {\color {green}\surd }\\&{\text{Für}}\colon \;a_{3}\colon \;s_{3}=s_{2}+a_{3}={\frac {11}{8}}+{\frac {3}{15}}={\frac {11}{8}}+{\frac {1}{5}}={\frac {63}{40}}\quad &s_{3}={\frac {81+45}{80}}={\frac {126}{80}}={\frac {63}{40}}\quad {\color {green}\surd }\\\end{alignedat}}$

Die Formel für die $n$.te Partialsummen $s_{n}$ lautet:

$s_{n}={\frac {3\cdot n\cdot (3\cdot n+5)}{4\cdot (n+1)\cdot (n+2)}},\;n\geq 1,n\in \mathbb {N}$.

Der Grenzwert der Reihe ist damit

${\begin{alignedat}{1}&\lim _{n\to \infty }\,s_{n}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {3\cdot n\cdot (3\cdot n+5)}{4\cdot (n+1)\cdot (n+2)}}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {3\cdot n\cdot 3\cdot n+3\cdot n\cdot 5}{4\cdot n^{2}+12\cdot n+8}}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {9+{\frac {45}{n}}}{4+{\frac {12}{n}}+{\frac {8}{n^{2}}}}}={\frac {9}{4}}.\end{alignedat}}$

$\quad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Partialbruchzerlegung, PBZ
• Reihe
• Konvergenzkriterium
• Applet zum Bilden von Partialbruchzerlegungen

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