TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS20/Beispiel 38

Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale:

(a) $\int {\frac {3x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

(b) $\int \sin {x}\cdot (1+2\cdot \cos {x})^{4}\cdot dx$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\int {\frac {3x}{\sqrt {1+x^{2}}}}dx$

Hier müssen wir eindeutig substituieren, da wir nicht vereinfachen und auch nicht partiell integrieren können. Dafür setzen wir

${\begin{aligned}u=1+x^{2}\\{\frac {du}{dx}}=2x\\dx={\frac {du}{2x}}\\\end{aligned}}$

Somit erhalten wir folgendes integral

${\begin{aligned}\int {\frac {3x}{\sqrt {u}}}*{\frac {du}{2x}}\\={\frac {3}{2}}*\int {\frac {1}{\sqrt {u}}}={\frac {3}{2}}*\int u^{-{\frac {1}{2}}}\\={\frac {3}{2}}*2*{\sqrt {u}}+C\\=3*{\sqrt {x^{2}+1}}+C\\\end{aligned}}$

Beispiel (b)

TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS19/Beispiel_227