TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS20/Beispiel 38

Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale:

(a) $\int \frac{3x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x$

(b) $\int \sin x\cdot (1+2\cdot \cos x{)}^4\cdot dx$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\int \frac{3x}{\sqrt{1+x^2}}dx$

Hier müssen wir eindeutig substituieren, da wir nicht vereinfachen und auch nicht partiell integrieren können. Dafür setzen wir

$\begin{array}{c}u=1+x^2\\ \frac{du}{dx}=2x\\ dx=\frac{du}{2x}\\ \end{array}$

Somit erhalten wir folgendes integral

$\begin{array}{c}\int \frac{3x}{\sqrt{u}}\ast \frac{du}{2x}\\ =\frac{3}{2}\ast \int \frac{1}{\sqrt{u}}=\frac{3}{2}\ast \int u^{-\frac{1}{2}}\\ =\frac{3}{2}\ast 2\ast \sqrt{u}+C\\ =3\ast \sqrt{x^2+1}+C\\ \end{array}$

Beispiel (b)

TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS19/Beispiel_227