TU Wien:Analysis VO (Dorfer)/Pruefung Dorfer 2016-04-28

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Angabe

1. Differentialgleichung 2-Ordnung: $y^{″}+4y^{\prime }-5y=x-5$ (bei Störfunktion bin ich mir nicht sicher ob -5 oder -1)
2. Für $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ bestimme man:
   • Nullstellen
   • Extremwerte
   • Wendepunkte
   • Skizze
3. Funktion $z=x^2-y^2$
   • Gradienten berechnen
   • Tangentialebene berechnen
   • Wo schneidet der Gradient die Tangentialebene oder den Gradienten?
4. Theorie über Landau Symbole $O,o,\sim$
   • Definition angeben und jeweils ein Beispiel.
   • Was passiert wenn $a_n=o(1)$ und $a_n=O(1)$ ?
5. ?

Lösung

Lösung Bsp. 1

Lineare Differentialgleichung 2-Ordnung (siehe Drmota S. 314ff)

$y^{″}+4y^{\prime }-5y=x-5$

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$

$y_h(x)$ ... Homogene Gleichung

$y_p(x)$ ... Partikuläre Gleichung

Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

${\lambda }^2+4\lambda -5=0$

$x_{1,2}=-\frac{4}{2}\pm \sqrt{4+5}=-2\pm 3$

$\Rightarrow {\lambda }_1=1\text{ und }{\lambda }_2=-5$

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist gegeben durch

$y_h(x)=\{\begin{array}{cc}{C}_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}& \text{falls }{\lambda }_1\ne {\lambda }_2\text{ reell}\\ e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)& \text{falls }{\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta \text{ konjugiert komplex}\\ (C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}& \text{falls }{\lambda }_1={\lambda }_2\text{ reell}\end{array}$

${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\Rightarrow y_h(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}\Rightarrow y_h(x)=C_1{e}^{1x}+C_2{e}^{-5x}$

Partikuläre Lösung

Lineare Störfunktion: $s(x)=x-5$

Daher Versuchslösung mit Ansatz

$y_p(x)=A_0+A_{1}x$

Die Ableitungen der Versuchslösung

$y{\text{'}}_p(x)=A_1,y^{\prime }{\text{'}}_p(x)=0$

Eingesetzt in die inhomogene Gleichung:

$\begin{array}{ccc}{y}^{\prime }{\text{'}}_p+4y{\text{'}}_p-5y_p& =& x-5\\ 0+4A_1-5(A_0+A_{1}x)& =& x-5\\ -5A_{1}x+(4A_1-5A_0)& =& x-5\end{array}$

Koeffizientenvergleich:

$-5A_1=1\Rightarrow A_1=-\frac{1}{5}$

$4A_1-5A_0=-5\Rightarrow A_0=1-\frac{4}{25}\Rightarrow A_0=\frac{21}{25}$

$\Rightarrow y_p(x)=\frac{21}{25}-\frac{1}{5}x$

Allgemeine Lösung der Gleichung

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-5x}+\frac{21}{25}-\frac{1}{5}x$

Lösung Bsp. 2

siehe WS2017 Bsp 143

Lösung Bsp. 3

In der Angabe fehlt vermutlich ein Punkt für den Gradient und Tangentielebene berechnet werden soll. Es wird der Punkt $P_0(3,2)$ angenommen.

Gradient

(siehe WS17 Bsp. 337 [1])

$f_x(x,y)=2x$

$f_y(x,y)=-2y$

$\mathrm{grad}f(x,y)=\left(\begin{array}{c}2x\\ -2y\end{array}\right)$

$\mathrm{grad}f(x_0,y_0)=\left(\begin{array}{c}6\\ -4\end{array}\right)$

Tangentialebene

(siehe WS17 Bsp. 318 [2])

Einsetzen in

$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$