TU Wien:Analysis VO (Dorfer)/Pruefung Dorfer 2016-04-28

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Angabe

1. Differentialgleichung 2-Ordnung: $y''+4y'-5y=x-5$ (bei Störfunktion bin ich mir nicht sicher ob -5 oder -1)
2. Für $f(x)=e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$ bestimme man:
   • Nullstellen
   • Extremwerte
   • Wendepunkte
   • Skizze
3. Funktion $z=x^{2}-y^{2}$
   • Gradienten berechnen
   • Tangentialebene berechnen
   • Wo schneidet der Gradient die Tangentialebene oder den Gradienten?
4. Theorie über Landau Symbole $O,o,\sim$
   • Definition angeben und jeweils ein Beispiel.
   • Was passiert wenn $a_{n}=o(1)$ und $a_{n}=O(1)$ ?
5. ?

Lösung

Lösung Bsp. 1

Lineare Differentialgleichung 2-Ordnung (siehe Drmota S. 314ff)

$y''+4y'-5y=x-5$

$y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)$

$y_{h}(x)$ ... Homogene Gleichung

$y_{p}(x)$ ... Partikuläre Gleichung

Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

$\lambda ^{2}+4\lambda -5=0$

$x_{1,2}=-{\frac {4}{2}}\pm {\sqrt {4+5}}=-2\pm 3$

$\Rightarrow \lambda _{1}=1{\text{ und }}\lambda _{2}=-5$

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist gegeben durch

$y_{h}(x)={\begin{cases}C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}&{\text{falls }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}{\text{ reell}}\\e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x)&{\text{falls }}\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta {\text{ konjugiert komplex}}\\(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda _{1}x}&{\text{falls }}\lambda _{1}=\lambda _{2}{\text{ reell}}\end{cases}}$

$\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\Rightarrow y_{h}(x)=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}\Rightarrow y_{h}(x)=C_{1}e^{1x}+C_{2}e^{-5x}$

Partikuläre Lösung

Lineare Störfunktion: $s(x)=x-5$

Daher Versuchslösung mit Ansatz

$y_{p}(x)=A_{0}+A_{1}x$

Die Ableitungen der Versuchslösung

$y'_{p}(x)=A_{1}\ ,\quad y''_{p}(x)=0$

Eingesetzt in die inhomogene Gleichung:

${\begin{array}{rcl}y''_{p}+4y'_{p}-5y_{p}&=&x-5\\0+4A_{1}-5(A_{0}+A_{1}x)&=&x-5\\-5A_{1}x+(4A_{1}-5A_{0})&=&x-5\end{array}}$

Koeffizientenvergleich:

$-5A_{1}=1\Rightarrow A_{1}=-{\frac {1}{5}}$

$4A_{1}-5A_{0}=-5\Rightarrow A_{0}=1-{\frac {4}{25}}\Rightarrow A_{0}={\frac {21}{25}}$

$\Rightarrow y_{p}(x)={\frac {21}{25}}-{\frac {1}{5}}x$

Allgemeine Lösung der Gleichung

$y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-5x}+{\frac {21}{25}}-{\frac {1}{5}}x$

Lösung Bsp. 2

siehe WS2017 Bsp 143

Lösung Bsp. 3

In der Angabe fehlt vermutlich ein Punkt für den Gradient und Tangentielebene berechnet werden soll. Es wird der Punkt $P_{0}(3,2)$ angenommen.

Gradient

(siehe WS17 Bsp. 337 [1])

$f_{x}(x,y)=2x$

$f_{y}(x,y)=-2y$

$\operatorname {grad} f(x,y)={\begin{pmatrix}2x\\-2y\end{pmatrix}}$

$\operatorname {grad} f(x_{0},y_{0})={\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}}$

Tangentialebene

(siehe WS17 Bsp. 318 [2])

Einsetzen in

$z=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$