TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS17/Beispiel 143

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Man diskutiere die Funktion definiert durch $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ für $x\ne 0$ und $f(0)=0$ (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

Hilfreiches

Kurvendiskussion

Kurvendiskussion

Nullstellen:

$f(x)=0$

Extremwerte:

$f^{\prime }(x)=0$

• Maximum, falls $f^{″}(x)<0$
• Minimum, falls $f^{″}(x)>0$
• Sattelpunkt, falls $f^{″}(x)=0$

Wendepunkte:

$f^{″}(x)=0$ und $f^{‴}(x)\ne 0$

Konvexität:

• Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen), falls $f^{″}(x)>0$
• Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen), falls $f^{″}(x)<0$

In der Wikipedia findet sich dazu ein langer Artikel.

Lösungsvorschlag

Grafische Darstellung der Kurve mit WolframAlpha.

Ableitungen

Für die Kurvendiskussion werden die ersten 3 Ableitungen benötigt.

$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$

$f^{\prime }(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}2x^{-3}$

$f^{″}(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}2x^{-3}2x^{-3}-6x^{-4}{e}^{-\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{x^2}}4x^{-6}-6x^{-4}{e}^{-\frac{1}{x^2}}$

$f^{‴}(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}(8x^{-9}-36x^{-7}+24x^{-5})$

Wendepunkte

$f^{″}(x)=0$

$e^{-\frac{1}{x^2}}4x^{-6}-6x^{-4}{e}^{-\frac{1}{x^2}}$

$x=\sqrt{2}$

$\Rightarrow W_1(\sqrt{2},e^{\frac{1}{2}}),W_2(-\sqrt{2},e^{\frac{1}{2}})$