TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS17/Beispiel 143

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Man diskutiere die Funktion definiert durch $f(x)=e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$ (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

Hilfreiches

Kurvendiskussion

Kurvendiskussion

Nullstellen:

$f(x)=0\!$

Extremwerte:

$f'(x)=0\!$

• Maximum, falls $f''(x)<0\!$
• Minimum, falls $f''(x)>0\!$
• Sattelpunkt, falls $f''(x)=0\!$

Wendepunkte:

$f''(x)=0\!$ und $f'''(x)\neq 0\!$

Konvexität:

• Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen), falls $f''(x)>0\!$
• Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen), falls $f''(x)<0\!$

In der Wikipedia findet sich dazu ein langer Artikel.

Lösungsvorschlag

Grafische Darstellung der Kurve mit WolframAlpha.

Ableitungen

Für die Kurvendiskussion werden die ersten 3 Ableitungen benötigt.

$f(x)=e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$

$f'(x)=e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}2x^{-3}$

$f''(x)=e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}2x^{-3}2x^{-3}-6x^{-4}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}=e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}4x^{-6}-6x^{-4}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$

$f'''(x)=e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}(8x^{-9}-36x^{-7}+24x^{-5})$

Wendepunkte

$f''(x)=0$

$e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}4x^{-6}-6x^{-4}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$

$x={\sqrt {2}}$

$\Rightarrow W_{1}({\sqrt {2}},e^{\frac {1}{2}}),W_{2}(-{\sqrt {2}},e^{\frac {1}{2}})$