TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2016-11-25

Hier gibt es die Angabe als PDF: Medium:TU_Wien-Analysis_VO_(Panholzer)-Prüfung_2016-11-25_-_prf.pdf

Die Aufgaben sind aus dem Kopf hier niedergeschrieben. Formulierungen können natürlich abweichen. Im Großen und Ganzen sollte es aber genau so gewesen sein.

Angabe

Aufgabe 1

Man bestimme den Grenzwert der Folge

$(a_n{)}_{n\ge 0}=\frac{n^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{n^3+1}}+\frac{n^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{n^3+2}}+\dots +\frac{n^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{n^3+n}}$

indem man zwei Folgen $(b_n{)}_{n\ge 0}$ und $(c_n{)}_{n\ge 0}$ angibt für die gilt $b_n\le a_n\le c_n$. Man benenne das dabei angewandte Konvergenzkriterium und formuliere dieses.

Aufgabe 2

Man bestimme alle relativen Extrema (Maxima und Minima) sowie Sattelpunkte der gegebenen Funktion $f(x,y)$:

$f(x,y)=(x-y)(1-xy)$

Aufgabe 3

Man bestimme die allgemeine Lösung der linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Anschließend bestimme man die konstanten Koeffizienten auf Basis des Anfangswertproblems $g(0)=1$ und $g^{\prime }(0)=1$:

$g^{″}(x)+g^{\prime }(x)-2g(x)+9e^x=0$

Aufgabe 4

Man formuliere die Definitionen folgender Begriffe:

a) Häufungspunkt einer Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$

b) Grenzwert eine Reihe $\sum _{n\ge 0}{a}_n$

c) Wann heißen zwei Folgen $a_n$ und $b_n$ asymptotisch gleich ($a_n\sim b_n$)?

d) Wann gilt $a_n=o(b_n)$?

Aufgabe 5

Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein; für jede vollständig richtige Antwort gibt es einen Punkt; es werden für falsche Antworten KEINE Punkte abgezogen):

Ich kann mich nur mehr grob an ein paar Fragen erinnern:

---

Die Funktion $f(x)$ sei auf dem Intervall $[a,b]$ differenzierbar. Was gilt dann auf jeden Fall?

• $f(x)$ ist auf dem Intervall $[a,b]$ stetig
• $f(x)>0$ auf dem Intervall $[a,b]$
• ...?

---

Welche der folgenden reellen Funktionen sind integrierbar?

• $f(x)=\{\begin{array}{c}1(x\in \mathbb{N})\\ 0(x\in ̸\mathbb{N})\end{array}$

• $f(x)=\{\begin{array}{c}1(x\in \mathbb{Q})\\ 0(x\in ̸\mathbb{Q})\end{array}$

• ...?

---

Muss eine Funktion $f(x)$ stetig auf $[a,b]$ sein um sie auf $[a,b]$ integrieren zu können?

• Ja
• Nein

---

Im Folgenden betrachten wir die Funktion $h(x)=x\ast e^{-x}$

---

An welcher Stelle besitzt die Funktion $h(x)$ ein relatives Maximum oder Minimum?

• keines
• -2
• -1
• 0
• 1
• 2

---

An welcher Stelle besitzt die Funktion $h(x)$ einen Wendepunkt?

• keinen
• -2
• -1
• 0
• 1
• 2

---

Was ist der Wert des bestimmten Integrals ${\int }_0^{-\mathrm{\infty }}h(x)dx$?

• -2
• -1
• 0
• 1
• 2
• $+\mathrm{\infty }$
• $-\mathrm{\infty }$

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