TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2016-11-25

Hier gibt es die Angabe als PDF: Medium:TU_Wien-Analysis_VO_(Panholzer)-Prüfung_2016-11-25_-_prf.pdf

Die Aufgaben sind aus dem Kopf hier niedergeschrieben. Formulierungen können natürlich abweichen. Im Großen und Ganzen sollte es aber genau so gewesen sein.

Angabe

Aufgabe 1

Man bestimme den Grenzwert der Folge

$(a_{n})_{n\geq 0}={\frac {n^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {n^{3}+1}}}+{\frac {n^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {n^{3}+2}}}+\dots +{\frac {n^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {n^{3}+n}}}$

indem man zwei Folgen $(b_{n})_{n\geq 0}$ und $(c_{n})_{n\geq 0}$ angibt für die gilt $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$. Man benenne das dabei angewandte Konvergenzkriterium und formuliere dieses.

Aufgabe 2

Man bestimme alle relativen Extrema (Maxima und Minima) sowie Sattelpunkte der gegebenen Funktion $f(x,y)$:

$f(x,y)=(x-y)(1-xy)$

Aufgabe 3

Man bestimme die allgemeine Lösung der linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Anschließend bestimme man die konstanten Koeffizienten auf Basis des Anfangswertproblems $g(0)=1$ und $g'(0)=1$:

$g''(x)+g'(x)-2g(x)+9e^{x}=0$

Aufgabe 4

Man formuliere die Definitionen folgender Begriffe:

a) Häufungspunkt einer Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$

b) Grenzwert eine Reihe $\sum _{n\geq 0}{a_{n}}$

c) Wann heißen zwei Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ asymptotisch gleich ($a_{n}\sim b_{n}$)?

d) Wann gilt $a_{n}=o(b_{n})$?

Aufgabe 5

Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein; für jede vollständig richtige Antwort gibt es einen Punkt; es werden für falsche Antworten KEINE Punkte abgezogen):

Ich kann mich nur mehr grob an ein paar Fragen erinnern:

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Die Funktion $f(x)$ sei auf dem Intervall $[a,b]$ differenzierbar. Was gilt dann auf jeden Fall?

• $f(x)$ ist auf dem Intervall $[a,b]$ stetig
• $f(x)>0$ auf dem Intervall $[a,b]$
• ...?

---

Welche der folgenden reellen Funktionen sind integrierbar?

• $f(x)={\begin{cases}1\,\,\,(x\in \mathbb {N} )\\0\,\,\,(x\not \in \mathbb {N} )\end{cases}}$

• $f(x)={\begin{cases}1\,\,\,(x\in \mathbb {Q} )\\0\,\,\,(x\not \in \mathbb {Q} )\end{cases}}$

• ...?

---

Muss eine Funktion $f(x)$ stetig auf $[a,b]$ sein um sie auf $[a,b]$ integrieren zu können?

• Ja
• Nein

---

Im Folgenden betrachten wir die Funktion $h(x)=x*e^{-x}$

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An welcher Stelle besitzt die Funktion $h(x)$ ein relatives Maximum oder Minimum?

• keines
• -2
• -1
• 0
• 1
• 2

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An welcher Stelle besitzt die Funktion $h(x)$ einen Wendepunkt?

• keinen
• -2
• -1
• 0
• 1
• 2

---

Was ist der Wert des bestimmten Integrals $\int _{0}^{-\infty }h(x)dx$?

• -2
• -1
• 0
• 1
• 2
• $+\infty$
• $-\infty$

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