TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 202

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Form:

$\lim _{x\to 1/2}(1-2x)\tan {\pi x}$

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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_{0}$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ und
• existiert $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)$,

so gilt: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \infty$, oder auch falls $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$.

Lösungsvorschlag

Erst umformen: $\lim _{x\to 1/2}(1-2x)\cdot \tan {\pi x}={\frac {(1-2x)\cdot \sin {\pi x}}{\cos {\pi x}}}$
Dann ableiten:
$\lim _{x\to 1/2}{\frac {-2\cdot \sin {\pi x}+(1-2x)\cdot \pi \cdot \cos {\pi x}}{-\pi \cdot \sin {\pi x}}}={\frac {2}{\pi }}$