TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 330

Man bestimme den Definitionsbereich der Vektorfunktion $x(t)$, sowie die Ableitung $x^{\prime }(t)$, wo sie existiert:

$x(t)=(\sin (1+\cos t),\frac{t^{5/4}}{\sqrt{1-t^2}})$

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Hilfreiches

Quotientenregel

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag

Definitionsbereich

Da der Term $t^{5/4}$ die vierte Wurzel ($t^{1/4}$) enthält, darf $t$ nicht negativ sein.

Damit der Nenner nicht $0$ ist und der Wert unter der Wurzel positiv ist, muss folgendes gelten:
$\begin{array}{cc}1-t^2& >0\\ 1& >t^2\\ 1& >|t|\end{array}$

Somit ergibt sich als Definitonsbereich $0\le t<1$, da aus den Winkelfunktionen keine Einschränkung resultiert.

Ableitungen

$x_1(t)=\sin (1+\cos t)$

${x_1}^{\prime }(t)=-\cos (1+\cos t)\sin (t)$

$x_2(t)=\frac{t^{5/4}}{\sqrt{1-t^2}}$

$\begin{array}{cc}{x_2}^{\prime }(t)& =\frac{\frac{5}{4}{t}^{1/4}\sqrt{1-t^2}-t^{5/4}\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}(-2t)}{1-t^2}\\ & =\frac{\frac{5}{4}{t}^{1/4}\sqrt{1-t^2}}{1-t^2}+\frac{t^{9/4}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}}{1-t^2}\\ & =\frac{5t^{1/4}}{4\sqrt{1-t^2}}+\frac{t^{9/4}}{(1-t^2{)}^{3/2}}\\ & =\frac{t^{1/4}}{\sqrt{1-t^2}}(\frac{5}{4}+\frac{t^2}{1-t^2})\end{array}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 95