TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 370

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

A = ${\begin{pmatrix}-2&-1&4\\-1&-2&1\\4&1&-10\end{pmatrix}}$

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{{Beispiel|1=
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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Hilfreiches

Hauptminorenkriterium:

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_{k}$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind.

Hauptminoren erhält man durch die Bildung der Determinanten von $M_{k}$

$M_{k}={\begin{pmatrix}g_{11}&..&g_{1k}\\.&&.\\.&&.\\g_{k1}&..&g_{kk}\end{pmatrix}}$ $(1\leq k\leq n)$

Lösung von Tobmayr

1. Bildung der Hautpminoren

$M_{1}={\begin{vmatrix}-2\end{vmatrix}}=-2$

$M_{2}={\begin{vmatrix}-2&-1\\-1&-2\end{vmatrix}}=(-2*-2)-(-1*-1)=3$

$M_{3}={\begin{vmatrix}-2&-1&4\\-1&-2&1\\4&1&-10\end{vmatrix}}=-2*{\begin{vmatrix}-2&1\\1&-10\end{vmatrix}}-(-1*{\begin{vmatrix}-1&4\\1&-10\end{vmatrix}})+4*{\begin{vmatrix}-1&-2\\4&1\end{vmatrix}}$ ( Laplacescher Entwicklungssatz [1])

${\mathsf {M}}_{3}=2*(-2*-10-1*1)+(-1*-10-4*1)+4*(-1*1+2*4)=-38+6+28=-4$

${\mathsf {M}}_{1}=negativ$
${\mathsf {M}}_{2}=positiv$
${\mathsf {M}}_{3}=negativ$

${\mathsf {\rightarrow }}$ A ist negativ definit!

Links

Wikipedia- Definitheit[2]