TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 375

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f (x, y)$ im angegebenen Bereich:
$f (x, y) = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 (x^{2} - y^{2})$ für $x, y \in ℝ$
Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist.

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Graph

Lösungsvorschlag

Zuerst müssen wir uns die partiellen Ableitungen $f_{x}$ und $f_{y}$ ausrechnen.

$f_{x} = 4 x (x^{2} + y^{2} - 1)$

$f_{y} = 4 y (x^{2} - y^{2} + 1)$

Dann stellen wir ein Gleichungssystem mit $f_{x} = 0$ und $f_{y} = 0$ auf, um alle stationären Punkte zu bestimmen. Dies sind die Punkte, die als Extrema für die Funktion überhaupt infrage kommen würden.

$f_{x} = 4 x (x^{2} + y^{2} - 1) = 0$

$f_{y} = 4 y (x^{2} - y^{2} + 1) = 0$

Mir fehlt leider die Zeit, um genauer auszuführen, wie dieses Gleichungssystem gelöst wird. Man verwendet u.a. den Produkt-Null-Satz, welcher bei solchen Beispielen immer äußerst hilfreich ist. Wenn wir es jedenfalls lösen, bekommen wir folgende stationäre Punkte als Lösungen:

$(0, 0), (1, 0), (- 1, 0)$

Als nächsten Schritt stellen wir die Hesse-Matrix $(\begin{matrix} f_{x x} & f_{x y} \\ f_{x y} & f_{y y} \end{matrix})$ auf. Von dieser Berechnen wir uns dann die Determinante. Wenn die Determinante kleiner als 0 ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt. Wenn sie größer als 0 ist, müssen wir uns noch $f_{x x}$ ansehen. Wenn dieses kleiner als 0 ist, handelt es sich um ein relatives Maximum. Wenn es größer als 0 ist, handelt es sich um ein relatives Minimum. Zuerst müssen wir uns jedoch $f_{x x}, f_{y y}$ und $f_{x y}$ ausrechnen.

$f_{x x} = 4 (3 x^{2} + y^{2} - 1)$

$f_{y y} = 4 (x^{2} + 3 y^{2} + 1)$

$f_{x y} = 8 x y$

Die Hesse-Matrix sieht also wie folgt aus:

$(\begin{matrix} 4 (3 x^{2} + y^{2} - 1) & 8 x y \\ 8 x y & 4 (3 x^{2} + y^{2} - 1) \end{matrix})$

Im folgenden setzen wir jeden Punkt einzeln ein, rechnen die Determinante aus und schauen, was rauskommt.

Für $(0, 0)$ :

$| \begin{matrix} - 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = - 16 < 0$

Da die Determinante für (0,0) negativ ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Für $(1, 0)$ :

$| \begin{matrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{matrix} | = 64 > 0$

Da die Determinante hier größer als 0 ist, müssen wir uns noch $f_{x x}$ ansehen.

Da $f_{x x} = 8 > 0$ handelt es sich hier um ein relatives Minimum.

Für $(- 1, 0)$ :