TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 139

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R\subseteq A\times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R=\{({\log }_{2}x,x)|x\in {ℝ}_{+}\},A=B=ℝ$

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Hilfreiches

Relation

Relation

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A\times B$. Ist $A=B$ so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von $(a,b)\in R$ schreibt man auch $aRb$, anstelle von $(a,b)\notin R$ auch $aR/b$.

Funktion

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_f\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $a{R}_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$. Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$.

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_1,a_2\in A,a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$ oder äquivalent: $a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\mathrm{\forall }b\in B\mathrm{\exists }a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

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WARNUNG: Siehe https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?p=266291 --Mnemetz 22:35, 22. Nov 2005 (CET)

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Eine andere Schreibweise für $aRb$ ist definitionsgemäß $f(a)=b$.

In diesem Fall bedeutet das:

$\begin{array}{ccc}f({\log }_{2}x)& =& x\\ \Rightarrow f(x)& =& 2^x\end{array}$

Um zu überprüfen ob dieses eine Funktion ist, kurz folgende Überlegung: $lo{g}_{2}x\in A$ und Logarithmen (egal welcher Basis) nimmt mit $x<1$ negative Werte. Und positive Werte sind auch abgebildet. Somit kann man alle Werte einsetzen, und bekommt einen Wert.

Injektivität: Eine Abbildung $f:A\to B$ heißt injektiv dann, wenn für alle $b\in B$ höchstens ein $a\in A$ existiert, sodaß $f(a)=b$.

Angenommen, $f(x_1)=f(x_2)=x$, wobei $x_1\ne x_2,x_1,x_2\in {ℝ}_{+}$:

$\begin{array}{ccc}f(x_1)& =& f(x_2)\\ 2^{x_1}& =& 2^{x_2}& |{\log }_2\\ {\log }_2{2}^{x_1}& =& {\log }_2{2}^{x_2}\\ x_1& =& x_2\end{array}$

Es ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme - daher muß f injektiv sein.

Surjektivität: Eine Abbildung heißt surjektiv, wenn für alle $b\in B$ mindestens ein $a\in A$ existiert, sodaß $f(a)=b$.

Diese Eigenschaft ist hier nicht erfüllt, da der Ausdruck $2^x$ nur für alle $x\in {ℝ}_{+}$ definiert ist. Die Funktion zeigt (aufgrund der Definition $x\in {ℝ}_{+}$) nur auf auf ${ℝ}_{+}$ müsste aber auf ganz $ℝ$ zeigen um bijektiv bzw surjektiv zu sein.

Ist eine Abbildung injektiv, aber nicht surjektiv, so ist sie nicht bijektiv.

Funktion

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_f\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $a{R}_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$. Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$.