TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 18

Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche $n\geq 0$ die angegebene Ungleichung gilt:

$9n^{3}-3\leq 8^{n}$

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Lösungsvorschlag

Als ersten Schritt untersuchen wir die Gleichung durch Einsetzen für n:

 n = 1	$9*1^{3}-3=6<8^{1}$   (8)     richtig
 n = 2	$9*2^{3}-3=69<8^{2}$  (64)    falsch
 n = 3	$9*3^{3}-3=240<8^{3}$ (512)   richtig
 n = 4	$9*4^{3}-3=573<8^{4}$ (4096)  richtig

Dies ergibt die Vermutung, daß die Gleichung für alle $n\geq 3$ gilt, da $8^{n}$ stärker wächst als n³.

Der Induktionsanfang für n = 3 ist bereits bewiesen.

Die Induktionsvoraussetzung, daß die Gleichung für alle $n\geq 3$ gilt.

Die Induktionsbehauptung: $9(n+1)^{3}-3\leq 8^{n+1}$

Induktionsschluß: ACHTUNG: hier sind offensichtlich Fehler! siehe Diskussionsseite

 $9*(n+1)^{3}-3=8*(9n^{3}-3)\leq 8^{n+1}=8*8^{n}$  | Term * 8
 $9*(n+1)^{3}\leq 72*n^{3}-21$      	      |  / 9
     $(n+1)^{3}\leq 8n^{3}-7/3$
   $n^{3}+3n^{2}+3n+1\leq 8n^{3}-7/3$	 | -n³
  $3n^{2}+3n+1\leq 7n^{3}-7/3$	       | Ersetzen n durch höchste Potenz
  $3n^{2}+3n^{2}\leq 7n^{3}$	  

und 6n² sind bei n >= 3immer kleiner als 7n³

Hapi

Lösungsvorschlag von Tonico

IV: P(n) sei die Aussage
8ⁿ ≥ 9n³ - 3, für alle n ≥ 3.

IA: Die Aussage P(3), 8³ = 512 ≥ 9·3³ - 3 = 240, ist wahr.

IS: Aus P(n) folgt P(n + 1) ist gleichbedeutend mit
8·8ⁿ = 8ⁿ⁺¹ ≥ 8·(9n³ - 3) ≥ 9(n + 1)³ - 3.

Daraus folgt, dass für alle n ≥ 3 P(n) wahr ist.

Lösung in der Übung akzeptiert

Ungleichung: $u(n):=9n^{3}-3\leq 8^{n}$

Erste analyse: Mittels einsetzen erhält man: Die Ungleichung gilt für n = 1, und alle n größer oder gleich 3.

Vereinfachung: Auf der linken Seite 3 addieren. Man vergrößert die Zahl, von der man annimmt, dass sie kleiner ist. Die Ungleichung $u_{1}(n):=9n^{3}\leq 8^{n}$ gilt immernoch für die angenommen $n\geq 3$.

Induktion: Es muss sowohl u(n), als auch u(n+1) gelten. Um eine einfache Endungleichung zu erhalten dividiert man ${\frac {u_{1}(n+1)}{u_{1}(n)}}$ und erhält:

 ${\frac {9(n+1)^{3}}{9n^{3}}}\leq {\frac {8^{n+1}}{8^{n}}}$ | Man kürzt links durch $9n^{3}$, rechts durch $8^{n}$
 ${\frac {(n+1)^{3}}{n^{3}}}\leq 8$ | Man zieht die 3. Wurzel
 ${\frac {n+1}{n}}\leq 2\Rightarrow 1+{\frac {1}{n}}\leq 2\Rightarrow {\frac {1}{n}}\leq 1$ | Und den Kehrwert:
 $n\geq 1$

Die Endungleichung ist natürlich für alle n größer oder gleich 3 gültig. Es gilt:

Wenn die durch x beschriebene Menge die angenommene Menge x größer-gleich 3 ist: $\forall n\in \{x\colon x\geq 3\}\colon n\geq 1$

Wieviel das mit Induktion zu tun hat, und ob das auch wirklich anwendbar ist, weiß ich nicht.

Link zu früheren Lösungen

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 44