TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 265

Sei $\varphi :G\rightarrow H$ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. Man zeige, daß dann auch $\varphi ^{-1}:H\rightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Hilfreiches

Definition:

Eine Gruppe $<G,\circ >$ ist eine Menge G mit einer Verknüpfung $\circ$, so dass folgende Axiome gelten:

• abgeschlossen bzgl. seiner Operation $\circ$

• assoziativ ($\forall a,b,c\in G:\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$),

• beinhaltet ein neutrales Element ($\exists e\in G:\forall a\in G:\quad a\circ e=e\circ a=a$

• sowie inverse Elemente ($\forall a\in G\exists a^{-1}\in G:\quad a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Definition:

Seien $<G,\bullet >$ und $<H,\star >$ Gruppen.

Eine Abbildung $\varphi :G\rightarrow H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\varphi (a\bullet b)=\varphi (a)\star \varphi (b)\quad \forall a,b\in G$.

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