TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 28

Zeigen Sie, dass ${\sqrt {10}}$ irrational ist!

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angenommen ${\sqrt {10}}={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$ , wobei $p,q\in \mathbb {N} ,q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$10={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

$10q^{2}=p^{2}$

$\Rightarrow p^{2}$ ist durch 10 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 10 teilbar $\Rightarrow p=10r$

$(10r)^{2}=10q^{2}$

$100r^{2}=10q^{2}$

$10r^{2}=q^{2}$

$\Rightarrow q^{2}$ ist durch 10 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 10 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 10 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind.

=> die Behauptung ${\sqrt {10}}\in \mathbb {Q}$ ist falsch.

(aus f.thread:35452 - abgewandelte Aufgabenstellung - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)

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