TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 5

SS08 Beispiel 1 WS09 Beispiel 7

Man überprüfe die Gleichung

$1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2=\frac{n\ast (n+1)\ast (2n+1)}{6}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

für die ersten fünf natürlichen Zahlen und beweise sodann die Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion.

Gültigkeit für die ersten fünf natürlichen Zahlen

n	links	rechts
$1$	$1$	$\frac{6}{6}$
$2$	$5$	$\frac{30}{6}$
$3$	$14$	$\frac{84}{6}$
$4$	$30$	$\frac{180}{6}$
$5$	$55$	$\frac{330}{6}$

Alle stimmen überein.

Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion

Induktionsanfang:
n = 1
$n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
1 = 1

Induktionsannahme: $\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Induktionsbehauptung: $\sum _{k=0}^{n+1}{k}^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

und die zeigt man, indem man die Induktionsannahme auf der linken Seite einsetzt und zeigt, dass das das gleiche wie die rechte Seite ergibt also:

wir wissen ja bzw. wir haben angenommen, dass $\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ stimmt

das n+1 - Element der Summe ist ja $n^2+2n+1$

somit kann man das ganze schreiben als $\sum _{k=0}^{n+1}{k}^2=(n^2+2n+1)+\sum _{k=0}^n{k}^2$

jetzt setzte ich die Induktionsannahme für das $\sum _{k=0}^n{k}^2$ ein, also $\sum _{k=0}^{n+1}{k}^2=(n^2+2n+1)+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ und vereinfache diesen Ausdruck

$\sum _{k=0}^n{k}^2+n^2+2n+1=\frac{(n)\ast (n+1)\ast (2n+1)}{6}+n^2+2n+1$

$=\frac{(n^2+n)\ast (2n+1)+6n^2+12n+6}{6}$

$=\frac{2n^3+2n^2+n^2+n+6n^2+12n+6}{6}$

$=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}$

$=\frac{n^3}{3}+\frac{3n^2}{2}+\frac{13n}{6}+1$ (B)

das gleiche macht man mit dem rechten Ausdruck $\frac{(n+1)\ast (n+2)\ast (2n+3)}{6}$

$\sum _{k=0}^{n+1}{k}^2=\frac{(n+1)\ast (n+2)\ast (2n+3)}{6}$ | $n+1$

$=\frac{(n^2+n+2n+2)\ast (2n+3)}{6}$

$=\frac{2n^3+6n^2+4n+3n^2+9n+6}{6}$

$=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}$

$=\frac{n^3}{3}+\frac{3n^2}{2}+\frac{13n}{6}+1$ (A)

und sieht dann, dass

A = B

Q.E.D

Quelle

Abgewandelt aus f.thread:16632 - Ausgabe mit AMSLaTeX formatiert

Grundlagen

2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005