TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 5

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SS08 Beispiel 1 WS09 Beispiel 7

Man überprüfe die Gleichung

für die ersten fünf natürlichen Zahlen und beweise sodann die Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion.

Gültigkeit für die ersten fünf natürlichen Zahlen

n links rechts

Alle stimmen überein.


Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion

Induktionsanfang:
n = 1

1 = 1

Induktionsannahme:

Induktionsbehauptung:

und die zeigt man, indem man die Induktionsannahme auf der linken Seite einsetzt und zeigt, dass das das gleiche wie die rechte Seite ergibt also:

wir wissen ja bzw. wir haben angenommen, dass stimmt

das n+1 - Element der Summe ist ja

somit kann man das ganze schreiben als


jetzt setzte ich die Induktionsannahme für das ein, also und vereinfache diesen Ausdruck


(B)


das gleiche macht man mit dem rechten Ausdruck

|

(A)



und sieht dann, dass

A = B

Q.E.D


Quelle

Abgewandelt aus f.thread:16632 - Ausgabe mit AMSLaTeX formatiert


Grundlagen

2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005