TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 5

SS08 Beispiel 1 WS09 Beispiel 7

Man überprüfe die Gleichung

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}\qquad =\qquad {\frac {n*(n+1)*(2n+1)}{6}}\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

für die ersten fünf natürlichen Zahlen und beweise sodann die Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion.

Gültigkeit für die ersten fünf natürlichen Zahlen

n	links	rechts
$1$	$1$	${\frac {6}{6}}$
$2$	$5$	${\frac {30}{6}}$
$3$	$14$	${\frac {84}{6}}$
$4$	$30$	${\frac {180}{6}}$
$5$	$55$	${\frac {330}{6}}$

Alle stimmen überein.

Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion

Induktionsanfang:
n = 1
$n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$
1 = 1

Induktionsannahme: $\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Induktionsbehauptung: $\sum _{k=0}^{n+1}k^{2}={\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}$

und die zeigt man, indem man die Induktionsannahme auf der linken Seite einsetzt und zeigt, dass das das gleiche wie die rechte Seite ergibt also:

wir wissen ja bzw. wir haben angenommen, dass $\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ stimmt

das n+1 - Element der Summe ist ja $n^{2}+2n+1$

somit kann man das ganze schreiben als $\sum _{k=0}^{n+1}k^{2}=(n^{2}+2n+1)+\sum _{k=0}^{n}k^{2}$

jetzt setzte ich die Induktionsannahme für das $\sum _{k=0}^{n}k^{2}$ ein, also $\sum _{k=0}^{n+1}k^{2}=(n^{2}+2n+1)+{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ und vereinfache diesen Ausdruck

$\sum _{k=0}^{n}k^{2}+n^{2}+2n+1\qquad ={\frac {(n)*(n+1)*(2n+1)}{6}}+n^{2}+2n+1$

$={\frac {(n^{2}+n)*(2n+1)+6n^{2}+12n+6}{6}}$

$={\frac {2n^{3}+2n^{2}+n^{2}+n+6n^{2}+12n+6}{6}}$

$={\frac {2n^{3}+9n^{2}+13n+6}{6}}$

$={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {3n^{2}}{2}}+{\frac {13n}{6}}+1\qquad$ (B)

das gleiche macht man mit dem rechten Ausdruck ${\frac {(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6}}$

$\sum _{k=0}^{n+1}k^{2}\qquad ={\frac {(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6}}$ | $n+1$

$={\frac {(n^{2}+n+2n+2)*(2n+3)}{6}}$

$={\frac {2n^{3}+6n^{2}+4n+3n^{2}+9n+6}{6}}$

$={\frac {2n^{3}+9n^{2}+13n+6}{6}}$

$={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {3n^{2}}{2}}+{\frac {13n}{6}}+1\qquad$ (A)

und sieht dann, dass

A = B

Q.E.D

Quelle

Abgewandelt aus f.thread:16632 - Ausgabe mit AMSLaTeX formatiert

Grundlagen

2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005