TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 5

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SS08 Beispiel 1 WS09 Beispiel 7

Man überprüfe die Gleichung

 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 \qquad = \qquad \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \qquad \forall n \in \mathbb{N}

für die ersten fünf natürlichen Zahlen und beweise sodann die Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion.

Gültigkeit für die ersten fünf natürlichen Zahlen

n links rechts
 1  1  \frac{6}{6}
 2  5  \frac{30}{6}
 3  14  \frac{84}{6}
 4  30  \frac{180}{6}
 5  55  \frac{330}{6}

Alle stimmen überein.


Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion

Induktionsanfang:
n = 1
 n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
1 = 1

Induktionsannahme: \sum_{k =0}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Induktionsbehauptung: \sum_{k =0}^{n+1}k^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}

und die zeigt man, indem man die Induktionsannahme auf der linken Seite einsetzt und zeigt, dass das das gleiche wie die rechte Seite ergibt also:

wir wissen ja bzw. wir haben angenommen, dass \sum_{k =0}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} stimmt

das n+1 - Element der Summe ist ja n^2 + 2n + 1

somit kann man das ganze schreiben als \sum_{k =0}^{n+1}k^2 = (n^2+2n+1) + \sum_{k=0}^{n}k^2


jetzt setzte ich die Induktionsannahme für das \sum_{k=0}^{n}k^2 ein, also \sum_{k=0}^{n+1}k^2 = (n^2+2n+1) + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} und vereinfache diesen Ausdruck


 \sum_{k=0}^{n} k^2 + n^2 + 2n + 1 \qquad = \frac{(n)*(n+1)*(2n+1)}{6} + n^2 + 2n + 1

 = \frac{(n^2 + n)*(2n+1) + 6n^2 + 12n + 6}{6}

 = \frac{2n^3 + 2n^2 + n^2 + n + 6n^2 + 12n +6}{6}

 = \frac{2n^3 + 9n^2 + 13n + 6}{6}

 = \frac{n^3}{3} + \frac{3n^2}{2} + \frac{13n}{6} + 1 \qquad (B)


das gleiche macht man mit dem rechten Ausdruck \frac{(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6}

 \sum_{k=0}^{n+1} k^2 \qquad = \frac{(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6} |  n+1

 = \frac{(n^2 + n + 2n + 2)*(2n+3)}{6}

 = \frac{2n^3 + 6n^2 + 4n + 3n^2 + 9n + 6}{6}

 = \frac{2n^3 + 9n^2 + 13n + 6}{6}

 = \frac{n^3}{3} + \frac{3n^2}{2} + \frac{13n}{6} + 1 \qquad (A)



und sieht dann, dass

A = B

Q.E.D


Quelle

Abgewandelt aus f.thread:16632 - Ausgabe mit AMSLaTeX formatiert


Grundlagen

2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005