TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 26

Wie viele natürliche Zahlen n mit $1\leq n\leq 1000$ gibt es, die durch 3, 13 oder durch 23 teilbar sind? Wie viele sind weder durch 3, noch durch 13, noch durch 23 teilbar sind?

Lösungsvorschlag

• $A_{3}$ (Menge aller Zahlen, die durch 3 teilbar sind) $|A_{3}|={\frac {1000}{3}}=333$
• $A_{13}$ (Menge aller Zahlen, die durch 13 teilbar sind) $|A_{13}|={\frac {1000}{13}}=76$
• $A_{23}$ (Menge aller Zahlen, die durch 23 teilbar sind) $|A_{23}|={\frac {1000}{23}}=43$
• $A_{3}\cap A_{13}$ (Menge aller Zahlen, die durch 3 und 13 teilbar sind) $|A_{3}\cap A_{13}|={\frac {1000}{3\cdot 13}}=25$
• $A_{3}\cap A_{23}$ (Menge aller Zahlen, die durch 3 und 23 teilbar sind) $|A_{3}\cap A_{23}|={\frac {1000}{3\cdot 23}}=14$
• $A_{13}\cap A_{23}$ (Menge aller Zahlen, die durch 13 und 23 teilbar sind) $|A_{13}\cap A_{23}|={\frac {1000}{13\cdot 23}}=3$
• $A_{3}\cap A_{13}\cap A_{23}$ (Menge aller Zahlen, die durch 3, 13 und 23 teilbar sind: $|A_{3}\cap A_{13}\cap A_{23}|={\frac {1000}{3\cdot 13\cdot 23}}=1$

Berechnung aller Zahlen zwischen $1\leq n\leq 1000$, die durch 3, 13 oder 23 teilbar sind:

${\begin{alignedat}{2}|A_{3,13,23}|&=|A_{3}|+|A_{13}|+|A_{23}|-|A_{3}\cap A_{13}|-|A_{3}\cap A_{23}|-|A_{13}\cap A_{23}|+|A_{3}\cap A_{13}\cap A_{23}|\\&=333+76+43-25-14-3+1\\&=411\end{alignedat}}$

Berechnung aller Zahlen zwischen $1\leq n\leq 1000$, die weder durch 3, 13 oder 23 teilbar sind:

${\begin{alignedat}{2}|A_{3,13,23}'|&=|E|-|A_{3,13,23}|\\&=1000-411\\&=589\end{alignedat}}$

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 166 (ähnliches Beispiel)