TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 26

Wie viele natürliche Zahlen n mit $1\le n\le 1000$ gibt es, die durch 3, 13 oder durch 23 teilbar sind? Wie viele sind weder durch 3, noch durch 13, noch durch 23 teilbar sind?

Lösungsvorschlag

• $A_3$ (Menge aller Zahlen, die durch 3 teilbar sind) $|A_3|=\frac{1000}{3}=333$
• $A_{13}$ (Menge aller Zahlen, die durch 13 teilbar sind) $|A_{13}|=\frac{1000}{13}=76$
• $A_{23}$ (Menge aller Zahlen, die durch 23 teilbar sind) $|A_{23}|=\frac{1000}{23}=43$
• $A_3\cap A_{13}$ (Menge aller Zahlen, die durch 3 und 13 teilbar sind) $|A_3\cap A_{13}|=\frac{1000}{3\cdot 13}=25$
• $A_3\cap A_{23}$ (Menge aller Zahlen, die durch 3 und 23 teilbar sind) $|A_3\cap A_{23}|=\frac{1000}{3\cdot 23}=14$
• $A_{13}\cap A_{23}$ (Menge aller Zahlen, die durch 13 und 23 teilbar sind) $|A_{13}\cap A_{23}|=\frac{1000}{13\cdot 23}=3$
• $A_3\cap A_{13}\cap A_{23}$ (Menge aller Zahlen, die durch 3, 13 und 23 teilbar sind: $|A_3\cap A_{13}\cap A_{23}|=\frac{1000}{3\cdot 13\cdot 23}=1$

Berechnung aller Zahlen zwischen $1\le n\le 1000$, die durch 3, 13 oder 23 teilbar sind:

$\begin{array}{cc}|A_{3,13,23}|& =|A_3|+|A_{13}|+|A_{23}|-|A_3\cap A_{13}|-|A_3\cap A_{23}|-|A_{13}\cap A_{23}|+|A_3\cap A_{13}\cap A_{23}|\\ & =333+76+43-25-14-3+1\\ & =411\end{array}$

Berechnung aller Zahlen zwischen $1\le n\le 1000$, die weder durch 3, 13 oder 23 teilbar sind:

$\begin{array}{cc}|A_{3^{\prime },13,23}|& =|E|-|A_{3,13,23}|\\ & =1000-411\\ & =589\end{array}$

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 166 (ähnliches Beispiel)