TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 44

Man zeige, dass die Menge ${\mathbb{Z}}_7\setminus \{0\}$ der von 0 verschiedenen Restklassen modulo 7 mit der Multiplikation eine zyklische Gruppe ist und bestimme alle Untergruppen.

Lösungsvorschlag von wimron

Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, die von einem einzelnen Element $a$ erzeugt wird. Sie besteht aus allen Potenzen des Erzeugers $a$: $⟨a⟩=\{a^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$.

Daher probiert man für $a$ mal 2, 3, 4 usw. aus:

$⟨2⟩$:

$2^1=2mod7=2$

$2^2=4mod7=4$

$2^3=8mod7=1$

$2^4=16mod7=2$

$2^5=32mod7=4$

$2^6=64mod7=1$

Mit $⟨a⟩=2$ werden also nicht alle Elemente erzeugt.

$⟨3⟩$:

$3^1=3mod7=3$

$3^2=9mod7=2$

$3^3=27mod7=6$

$3^4=81mod7=4$

$3^5=243mod7=5$

$3^6=729mod7=1$

Mit $⟨a⟩=3$ werden alle Elemente erzeugt.

Dasselbe probieren wir noch für $⟨a⟩=4$, $⟨a⟩=5$, $⟨a⟩=6$ und stellen fest, dass für $⟨a⟩=5$ auch alle Elemente erzeugt werden.

Dann bestimmen wir noch die Ordnung (Anzahl der Elemente der Mengen $⟨1⟩$ bis $⟨6⟩$) und haben somit auch schon die Untergruppen.

Untergruppe der Ordnung 1: $⟨1⟩$

Untergruppen der Ordnung 3: $⟨2⟩$, $⟨4⟩$

Untergruppe der Ordnung 2: $⟨6⟩$

Gruppe 3 und 5 gehören nicht dazu, da ihre Gruppen alle Elemente beinhalten.

Weitere Lösung

TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS10/Beispiel_*