TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 44

Man zeige, dass die Menge $\mathbb {Z} _{7}\setminus \{0\}$ der von 0 verschiedenen Restklassen modulo 7 mit der Multiplikation eine zyklische Gruppe ist und bestimme alle Untergruppen.

Lösungsvorschlag von wimron

Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, die von einem einzelnen Element $a$ erzeugt wird. Sie besteht aus allen Potenzen des Erzeugers $a$: $\left\langle a\right\rangle =\lbrace a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \rbrace$.

Daher probiert man für $a$ mal 2, 3, 4 usw. aus:

$\left\langle 2\right\rangle$:

$2^{1}=2\mod 7=2$

$2^{2}=4\mod 7=4$

$2^{3}=8\mod 7=1$

$2^{4}=16\mod 7=2$

$2^{5}=32\mod 7=4$

$2^{6}=64\mod 7=1$

Mit $\left\langle a\right\rangle =2$ werden also nicht alle Elemente erzeugt.

$\left\langle 3\right\rangle$:

$3^{1}=3\mod 7=3$

$3^{2}=9\mod 7=2$

$3^{3}=27\mod 7=6$

$3^{4}=81\mod 7=4$

$3^{5}=243\mod 7=5$

$3^{6}=729\mod 7=1$

Mit $\left\langle a\right\rangle =3$ werden alle Elemente erzeugt.

Dasselbe probieren wir noch für $\left\langle a\right\rangle =4$, $\left\langle a\right\rangle =5$, $\left\langle a\right\rangle =6$ und stellen fest, dass für $\left\langle a\right\rangle =5$ auch alle Elemente erzeugt werden.

Dann bestimmen wir noch die Ordnung (Anzahl der Elemente der Mengen $\left\langle 1\right\rangle$ bis $\left\langle 6\right\rangle$) und haben somit auch schon die Untergruppen.

Untergruppe der Ordnung 1: $\left\langle 1\right\rangle$

Untergruppen der Ordnung 3: $\left\langle 2\right\rangle$, $\left\langle 4\right\rangle$

Untergruppe der Ordnung 2: $\left\langle 6\right\rangle$

Gruppe 3 und 5 gehören nicht dazu, da ihre Gruppen alle Elemente beinhalten.

Weitere Lösung

TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS10/Beispiel_*