TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel *

Man zeige, dass die Menge $\mathbb {Z} _{7}\backslash \{0\}$ der von 0 verschiedenen Restklassen modulo 7 mit der Multiplikation eine zyklische Gruppe ist und bestimme alle Untergruppen.

Lösungsvorschlag

Als erstes soll gezeigt werden, dass die von 0 verschiedenen Restklassen modulo 7 mit der Multiplikation eine zyklische Gruppe bilden. Dazu schreiben wir die verschiedenen Restklassen mal an:

${\bar {1}}=\{1,8,15,...\}$
${\bar {2}}=\{2,9,16,...\}$
${\bar {3}}=\{3,10,17,...\}$
${\bar {4}}=\{4,11,18,...\}$
${\bar {5}}=\{5,12,19,...\}$
${\bar {6}}=\{6,13,20,...\}$
${\bar {0}}=\{0,7,14,...\}$

Die Restklasse 0 wurde nur der Vollständigkeit halber angeschrieben, ist aber für die weiteren Betrachtungen nicht weiter relevant, da in der Angabe ausdrücklich $\mathbb {Z} _{7}\backslash \{0\}$ steht.

Als nächstes wird überprüft ob jede Restklase (außer natürlich der ${\bar {0}}$) ein multiplikatives inverses besitzt. Sprich: Wenn man eine Restklasse mit einer anderen Restklasse multipliziert, dann muss das neutrale Element herauskommen.

Das multiplikative Inverse zu ${\bar {1}}$ ist ${\bar {1}}$, da ${\bar {1}}\cdot {\bar {1}}={\bar {1}}$ ist.
Das multiplikative Inverse zu ${\bar {2}}$ ist ${\bar {4}}$, da ${\bar {2}}\cdot {\bar {4}}={\bar {1}}$ ist.
usw...

Wie wir sehen, besitzt jede Restklasse ein multiplikatives Inverses. Als nächstes bestimmen wir die Ordnung der Gruppe. Für endliche Mengen ist dies einfach die Anzahl der Elemente. Das heißt die Ordnung der Gruppe ist 6: $\left|G\right|=6$
Nun gilt folgendes:
Eine endliche Gruppe G der Ordnung $n=\left|G\right|$ ist genau dann zyklisch, wenn es ein Element $g\in G$ gibt mit $ord(g)=n$. Die Ordung eines Gruppenelementes $g$ ist die kleinste natürliche Zahl $k$ mit $g^{k}=\underbrace {g\cdot {}g\cdot {}....\cdot {}g} _{k-mal}=e$ (e = neutrales Element)
Wir bestimmen nun die Ordnung jedes einzelnen Gruppenelements:
Die Ordnung der Restklasse 2 ist 3, da $2^{3}mod7={\bar {1}}$ ist. Wir schreiben: $ord({\bar {2}})=3$
Die Ordnung der Restklasse 3 ist 6, da $3^{6}mod7={\bar {1}}$ ist. Wir schreiben: $ord({\bar {3}})=6$
usw...

Laut dem obigen Satz ist eine Gruppe G der Ordnung $n=\left|G\right|$ genau dann zyklisch, wenn es ein Element $g\in G$ gibt mit $ord(g)=n$. Da so ein Element existiert, ist $\mathbb {Z} _{7}\backslash \{0\}$ bez. der Multiplikation eine zyklische Gruppe.

Als nächstes sollen alle Untergruppen bestimmt werden. Dazu machen wir uns den "Satz von Lagrange" zu nutze. Dieser besagt folgendes: Sei G eine endliche Gruppe, dann ist H eine Untergruppe von G, wenn ihre Kardinalität $\left|H\right|$ ein Teiler von $\left|G\right|$ ist. Dementsprechend können mögliche Untergruppen nur die Ordnung 1,2,3 und 6 besitzen (sind alles Teiler von 6). Jetzt müssen wir ein bisschen mit den Restklassen spielen und mögliche Untergruppen durchprobieren. Dazu betrachten wir als erstes alle möglichen Untergruppen der Ordnung 1. Also:
$<\{1\},\cdot >$
$<\{2\},\cdot >$
$<\{3\},\cdot >$
$<\{4\},\cdot >$
$<\{5\},\cdot >$
$<\{6\},\cdot >$

$<\{2\},\cdot >$ kann z.B keine Untergruppe sein, da $2\cdot 2\;{\bmod {\ }}7=4$ ist und wir damit nicht mehr in ${\bar {2}}$ liegen.
$<\{3\},\cdot >$ kann ebenfalls keine Untergruppe sein, da $3\cdot 3\;{\bmod {\ }}7=2$ ist und wir damit nicht mehr in ${\bar {3}}$ liegen.
usw...

Als nächstes betrachten wir alle möglichen Untergruppen der Ordnung 2:

$<\{1,2\},\cdot >$
$<\{1,3\},\cdot >$
$<\{1,4\},\cdot >$
$<\{1,5\},\cdot >$
$<\{1,6\},\cdot >$
$<\{2,3\},\cdot >$
usw...

$<\{1,2\},\cdot >$ kann z.B mal keine Untergruppe sein, da $2\cdot 2\;{\bmod {\ }}7=4$ ist und wir damit nicht mehr in ${\bar {1}}$ bzw. ${\bar {2}}$ liegen.

$<\{1,3\},\cdot >$ kann ebenfalls keine Untergruppe sein, da $3\cdot 3\;{\bmod {\ }}7=2$ ist und wir damit nicht mehr in ${\bar {1}}$ bzw. ${\bar {3}}$ liegen.
usw...

Als nächstes sehen wir uns alle möglichen Untergruppen der Ordnung 3 an. Also:
$<\{1,2,3\},\cdot >$
$<\{1,2,4\},\cdot >$
$<\{1,2,5\},\cdot >$
$<\{1,2,6\},\cdot >$
$<\{1,3,4\},\cdot >$
$<\{1,3,5\},\cdot >$
usw...

Zuletzt betrachten wir noch die Untergruppe der Ordnung 6: $<\{1,2,3,4,5,6\},\cdot >$

Wenn man sich das konsequent überlegt, dann sollte man alle Untergruppen bestimmen können. Unter anderem sind dies: <1,2>, <1,2,4> und <1,2,3,4,5,6>

Anmerkung: oben steht {1,2} kann keine Untergruppe sein, unten steht unter anderem sind dies: <1,2>,... die einzige zweielementige Untergruppe, die ich gefunden habe ist <1,6>

Weitere Lösung

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