TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 51

Sei $A={\begin{pmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{pmatrix}}$. Man zeige, dass dann $A^{2}={\begin{pmatrix}\cos {2x}&-\sin {2x}\\\sin {2x}&\cos {2x}\end{pmatrix}}$ gilt, und dass die zu $A$ inverse Matrix durch $A^{-1}={\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

Hilfreiches

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

$\sin(2x)=2\sin x\;\cos x$

$\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

Die Matrix A dreht uebrigens einen Vektor um x Grad gegen den Uhrzeigersinn.

Lösungsvorschlag

${\begin{alignedat}{2}A^{2}&=A\cdot A\\&={\begin{pmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-\sin x\cdot \sin x+\cos x\cdot \cos x&-\sin x\cdot \cos x-\cos x\cdot \sin x\\\cos x\cdot \sin x+\sin x\cdot \cos x&\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos ^{2}x-\sin ^{2}x&-2\cdot \cos x\cdot \sin x\\2\cdot \cos x\cdot \sin x&\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos {2x}&-\sin {2x}\\\sin {2x}&\cos {2x}\end{pmatrix}}\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}A^{-1}&={\begin{pmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{pmatrix}}^{-1}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}}{\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{1}}{\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}\end{alignedat}}$

alternativer Lösungsvorschlag zur inversen matrix

für den beweis der inversen matrix kann man auch den ansatz $A\cdot A^{-1}=I_{n}$ hernehmen. matrix mal ihrer inversen ergibt die einheitsmatrix