TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 51

Sei $A=\left(\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right)$. Man zeige, dass dann $A^2=\left(\begin{array}{cc}\cos 2x& -\sin 2x\\ \sin 2x& \cos 2x\end{array}\right)$ gilt, und dass die zu $A$ inverse Matrix durch $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\cos x& \sin x\\ -\sin x& \cos x\end{array}\right)$ gegeben ist.

Hilfreiches

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

$\sin (2x)=2\sin x\cos x$

$\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

Die Matrix A dreht uebrigens einen Vektor um x Grad gegen den Uhrzeigersinn.

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}{A}^2& =A\cdot A\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}-\sin x\cdot \sin x+\cos x\cdot \cos x& -\sin x\cdot \cos x-\cos x\cdot \sin x\\ \cos x\cdot \sin x+\sin x\cdot \cos x& \cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x& -2\cdot \cos x\cdot \sin x\\ 2\cdot \cos x\cdot \sin x& {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos 2x& -\sin 2x\\ \sin 2x& \cos 2x\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{cc}{A}^{-1}& ={\left(\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right)}^{-1}\\ & =\frac{1}{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}\left(\begin{array}{cc}\cos x& \sin x\\ -\sin x& \cos x\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}\cos x& \sin x\\ -\sin x& \cos x\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos x& \sin x\\ -\sin x& \cos x\end{array}\right)\end{array}$

alternativer Lösungsvorschlag zur inversen matrix

für den beweis der inversen matrix kann man auch den ansatz $A\cdot A^{-1}=I_n$ hernehmen. matrix mal ihrer inversen ergibt die einheitsmatrix