TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 53

Man untersuche die Lösbarkeit folgender Gleichungssysteme und berechne gegebenenfalls alle ihre Lösungen:

(a) $\begin{array}{cccc}5x_1& -x_2& =& 12\\ -x_1& +2x_2& =& 12\end{array}$

(b) $\begin{array}{cccc}{x}_1& +4x_2& =& 0\\ 2x_1& -x_2& =& 0\end{array}$

(c) $\begin{array}{cccc}-3x_1& +x_2& =& 1\\ 9x_1& -3x_2& =& -2\end{array}$

(d) $\begin{array}{cccc}12x_1& +9x_2& =& 18\\ 8x_1& +6x_2& =& 12\end{array}$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\left(\begin{array}{cccc}5& -1& |& 12\\ -1& 2& |& 12\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}-1& 2& |& 12\\ 5& -1& |& 12\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -2& |& -12\\ 5& -1& |& 12\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -2& |& -12\\ 0& 9& |& 72\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -2& |& -12\\ 0& 1& |& 8\end{array}\right)$

$x_2=8$

$x_1-2x_2=-12\Rightarrow x_1-16=-12\Rightarrow x_1=4$

Beispiel (b)

$\left(\begin{array}{cccc}1& 4& |& 0\\ 2& -1& |& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 4& |& 0\\ 0& -9& |& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 4& |& 0\\ 0& 1& |& 0\end{array}\right)$

$x_2=0$

$x_1+4x_2=0\Rightarrow x_1-0=0\Rightarrow x_1=0$

Im ersten Schritt der Umformung wurde die Zeile2 durch (Zeile2 minus 2*Zeile1) ersetzt. An der ersten Stelle erhält man also 2-2*1 = 0, an der zweiten Stelle erhält man -1-2*4 = -9.

Beispiel (c)

$\left(\begin{array}{cccc}-3& 1& |& 1\\ 9& -3& |& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}-3& 1& |& 1\\ 0& 0& |& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -\frac{1}{3}& |& -\frac{1}{3}\\ 0& 0& |& 1\end{array}\right)$

Unlösbar

Beispiel (d)

$\left(\begin{array}{cccc}12& 9& |& 18\\ 8& 6& |& 12\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& \frac{3}{4}& |& \frac{3}{2}\\ 0& 0& |& 0\end{array}\right)$

$x_1+\frac{3}{4}{x}_2=\frac{3}{2}\Rightarrow x_1=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}{x}_2$

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 397 (ähnliches Beispiel)