TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 53

Man untersuche die Lösbarkeit folgender Gleichungssysteme und berechne gegebenenfalls alle ihre Lösungen:

(a) ${\begin{aligned}5x_{1}&-x_{2}&=&12\\-x_{1}&+2x_{2}&=&12\end{aligned}}$

(b) ${\begin{aligned}x_{1}&+4x_{2}&=&0\\2x_{1}&-x_{2}&=&0\end{aligned}}$

(c) ${\begin{aligned}-3x_{1}&+x_{2}&=&1\\9x_{1}&-3x_{2}&=&-2\end{aligned}}$

(d) ${\begin{aligned}12x_{1}&+9x_{2}&=&18\\8x_{1}&+6x_{2}&=&12\end{aligned}}$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

${\begin{pmatrix}5&-1&|&12\\-1&2&|&12\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}-1&2&|&12\\5&-1&|&12\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&-2&|&-12\\5&-1&|&12\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&-2&|&-12\\0&9&|&72\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&-2&|&-12\\0&1&|&8\end{pmatrix}}$

$x_{2}=8$

$x_{1}-2x_{2}=-12\Rightarrow x_{1}-16=-12\Rightarrow x_{1}=4$

Beispiel (b)

${\begin{pmatrix}1&4&|&0\\2&-1&|&0\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&4&|&0\\0&-9&|&0\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&4&|&0\\0&1&|&0\end{pmatrix}}$

$x_{2}=0$

$x_{1}+4x_{2}=0\Rightarrow x_{1}-0=0\Rightarrow x_{1}=0$

Im ersten Schritt der Umformung wurde die Zeile2 durch (Zeile2 minus 2*Zeile1) ersetzt. An der ersten Stelle erhält man also 2-2*1 = 0, an der zweiten Stelle erhält man -1-2*4 = -9.

Beispiel (c)

${\begin{pmatrix}-3&1&|&1\\9&-3&|&-2\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}-3&1&|&1\\0&0&|&1\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&-{\frac {1}{3}}&|&-{\frac {1}{3}}\\0&0&|&1\end{pmatrix}}$

Unlösbar

Beispiel (d)

${\begin{pmatrix}12&9&|&18\\8&6&|&12\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&{\frac {3}{4}}&|&{\frac {3}{2}}\\0&0&|&0\end{pmatrix}}$

$x_{1}+{\frac {3}{4}}x_{2}={\frac {3}{2}}\Rightarrow x_{1}={\frac {3}{2}}-{\frac {3}{4}}x_{2}$

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 397 (ähnliches Beispiel)