TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 546

Man untersuche die Lösbarkeit des folgenden Gleichungssystems und berechne gegebenenfalls alle Lösungen:

${\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&2\\3\cdot x_{1}&+&x_{2}&-&2\cdot x_{3}&+&4\cdot x_{4}&=&2\\-x_{1}&+&4\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&3\cdot x_{4}&=&2\\2\cdot x_{1}&+&4\cdot x_{2}&&&+&x_{4}&=&1\end{aligned}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

eine Frage: wie bestimmt man die Lösbarkeit überhaupt? Die Gleichung rg(A)=rg(A*b) muss stimmen, oder? Überprüft ihr das in dieser Lösung?

Lösungsvorschlag von Hapi

1. Schritt: Eliminiere alle $x_{1}$, indem man die erste Zeile 3x von der 2. Abzieht, 1x zur dritten addiert und 2x von der 4 abzieht.

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\3&1&-2&4&|&2\\-1&4&3&-3&|&2\\2&4&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\3\cdot x_{1}&+&x_{2}&-&2\cdot x_{3}&+&4\cdot x_{4}&=&+2&&-3*1.Zeile\\-x_{1}&+&4\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&3\cdot x_{4}&=&+2&&+1*1.Zeile\\2\cdot x_{1}&+&4\cdot x_{2}&&&+&x_{4}&=&+1&&-2*1.Zeile\end{aligned}}$

gibt

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&-5&1&1&|&-4\\0&6&2&-2&|&4\\0&0&2&-1&|&-3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&-&5\cdot x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&=&-4&&(2-3*2)\\&+&6\cdot x_{2}&+&2\cdot x_{3}&-&2\cdot x_{4}&=&+4&&(2+1*2)\\&&&&2\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&-3&&(1-2*2)\end{aligned}}$

2. Schritt: wir erzeugen ein $x_{2}$, indem wir die 2. Zeile zur 3. Zeile addieren und im nächsten Schritt Zeile 2 und 3 vertauschen.

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&-5&1&1&|&-4\\0&6&2&-2&|&4\\0&0&2&-1&|&-3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&-&5\cdot x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&=&-4&&\\&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&+0&&(4+1*-4)\\&&&&2\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&-3&&\end{aligned}}$

gibt

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&1&3&-1&|&0\\0&-5&1&1&|&-4\\0&0&2&-1&|&-3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&+0&&(2-3Zeile)\\&-&5\cdot x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&=&-4&&\\&&&&2\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&-3&&\end{aligned}}$

3. Schritt: wir eliminieren $x_{2}$ in der 3. Zeile, indem wir ein vielfaches der 2. Zeile verwenden und multiplizieren die 4. Zeile mit -1.

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&1&3&-1&|&0\\0&0&16&-4&|&-4\\0&0&-2&1&|&3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&+0&&\\&&&+&16\cdot x_{3}&-&4\cdot x_{4}&=&-4&&(5*2.Zeile)\\&&&-&2\cdot x_{3}&&x_{4}&=&3&&\end{aligned}}$

4. Schritt: 3. Zeile und 4. Zeile vertauschen, dann 3. und 4. Spalte.

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&-4&16&|&-4\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&x_{4}&-&x_{3}&=&+2\\&+&x_{2}&-&x_{4}&+&3\cdot x_{3}&=&+0&&\\&&&+&x_{4}&+&2\cdot x_{3}&=&3&&(3.u.4.Zeile)\\&&&-&4\cdot x_{4}&+&16\cdot x_{3}&=&-4&&(3.u.4.Spalte)\end{aligned}}$

5. Schritt: 4. Zeile $x_{4}$ auslöschen.

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&0&8&|&8\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&x_{4}&-&x_{3}&=&+2\\&+&x_{2}&-&x_{4}&+&3\cdot x_{3}&=&+0&&\\&&&+&x_{4}&+&2\cdot x_{3}&=&3&&\\&&&&&+&24\cdot x_{3}&=&8&&(+4*3.Zeile)\end{aligned}}$

6. Schritt: 4. Zeile durch 24 dividieren und auf Halbdiagonalform bringen

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&x_{4}&-&x_{3}&=&+2\\&+&x_{2}&-&x_{4}&+&3\cdot x_{3}&=&+0&&\\&&&+&x_{4}&+&2\cdot x_{3}&=&3&&\\&&&&&+&x_{3}&=&1/3&&(4.Zeile*1/24)\end{aligned}}$

7. Schritt: Einheitsmatix erzeugen

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&2&1&0&|&3\\0&1&0&3&|&5\\0&0&1&0&|&5\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&0&1&0&|&-1\\0&1&0&0&|&2\\0&0&1&0&|&5\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&0&0&0&|&-6\\0&1&0&0&|&2\\0&0&1&0&|&5\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}$

Somit wäre so kein Rechenfehler passiert ist, folgende Lösung gegeben: $x_{1}=-6$ , $x_{2}=2$ , $x_{4}=5$ und $x_{3}=1$

Da $x_{3}$ und $x_{4}$ vertauscht wurden (Spaltenvertauschung!!), sind sie wieder zurückzutauschen. Um darauf aufmerksam zu machen, wurde das Geleichungssystem parallel mitgeführt.

Das ergibt nur eine Lösung, den Vektor: ${\begin{pmatrix}-6\\2\\1\\5\end{pmatrix}}$

Kommentar von nunia3: Ich hab einen Vorzeichefehler gefunden und gleich ausgebessert. Jetzt stimmts. Anmerkung von Hapi: Hab die Vorzeichenfehler im rechten Gleichungssystem korrigiert, sorry!

Hilfreiches von Har203

Lineares Gleichungssystem

Gauß'sches Eliminationsverfahren

Das gaußsche Eliminationsverfahren oder einfach Gauß-Verfahren (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen und beruht darauf, dass Äquivalenzumformungen zwar das Gleichungssystem ändern, aber die Lösung erhalten. Dies erlaubt es, jedes eindeutig lösbare Gleichungssystem auf Stufenform zu bringen, an der die Lösung durch sukzessive Elimination der Unbekannten leicht ermittelt oder die Lösungsmenge abgelesen werden kann.

LGS-Äquivalenzumformungen

Allgemein gilt: Die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems ändert sich durch folgende Äquivalenzumformungen nicht:

• Vertauschen zweier Zeilen/Spalten,
• Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einem Faktor $\neq 0$,
• Addition einer Zeile/Spalte (mit einem Faktor) zu einer anderen Zeile/Spalte.

Zeilen-/Spaltenrang einer Matrix

Für eine Matrix $A$ definiert man den Zeilenraum $ZR(A)$ als die lineare_Hülle der Zeilenvektoren aus $A$. Die [Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang, sie entspricht der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.

Analog definiert man den Spaltenraum $SR(A)$ und den Spaltenrang durch die Spaltenvektoren. Man kann für Matrizen mit Elementen aus einem Körper zeigen, dass der Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist. Dies gilt für Matrizen über einem beliebigen kommutativen Ring, der kein Körper ist, im Allgemeinen nicht.

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\operatorname {rg} (f)=\dim(\operatorname {im} (f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Lösungsvorschlag von Har203

Untersuchen Sie die Lösbarkeit des folgenden Gleichungssystems und berechnen Sie gegebenenfalls mit Hilfe des Gaußsche Eliminationsverfahren alle Lösungen.

Folgendes Gleichungssystem ist gegeben:

${\begin{alignedat}{1}&x_{1}&\;+\;&2\cdot &x_{2}&\;-\;&&x_{3}&\;+\;&&x_{4}&=2&\\3\cdot &x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;-\;&2\cdot &x_{3}&\;+\;&4\cdot &x_{4}&=2&\\-1\cdot &x_{1}&\;+\;&4\cdot &x_{2}&\;+\;&3\cdot &x_{3}&\;-\;&3\cdot &x_{4}&=2&\\2\cdot &x_{1}&\;+\;&4\cdot &x_{2}&\;\;&&&\;+\;&&x_{4}&=1&\end{alignedat}}$

Wir stellen das Gleichungssystem mittels erweiterter Matrix auf:

${\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{cccc|c}1&2&-1&1&2\\3&1&-2&4&2\\-1&4&3&-3&2\\2&4&0&1&1\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\;\\\to +3\cdot Z3\,\\\to +Z1\,\\\to +2\cdot Z3\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}1&2&-1&1&2\\0&13&7&-5&8\\0&6&2&-2&4\\0&12&6&-5&5\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to -{\frac {1}{3}}\cdot Z3\,\\\to -Z4\\\to Z3/6-Z2/13\;\\\to Z4/12-Z2/13\;\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{cccc|c}1&0&-5/3&5/3&2/3\\0&1&1&0&3\\0&0&-8/39&2/39&2/39\\0&0&-6/156&-5/156&-31/156\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\,\\\,\\\to \cdot (-{\frac {39}{2}})\\\to \cdot 156\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}1&0&-5/3&5/3&2/3\\0&1&1&0&3\\0&0&4&-1&-1\\0&0&6&5&31\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to Z1+5/12\cdot Z3\;\\\to -{\frac {1}{4}}\cdot Z3\;\\\to {\frac {1}{4}}\cdot Z3\,\\\to 3\cdot Z3-2\cdot Z4\;\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{cccc|c}1&0&0&5/4&1/4\\0&1&0&-1/4&13/4\\0&0&1&-1/4&-1/4\\0&0&0&-13&-65\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to {\frac {5}{52}}\cdot Z4\;\\\to +(-{\frac {1}{52}})\cdot Z4\;\\\to +(-{\frac {1}{52}})\cdot Z4\;\\\to (-{\frac {1}{13}})\cdot Z4\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}1&0&0&0&-6\\0&1&0&0&2\\0&0&1&0&1\\0&0&0&1&5\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Als Lösungsraum erhalten wir die eindeutige Lösung mit

$x_{1}=-6,\,x_{2}=2,\,x_{3}=1,$ und $x_{4}=5$

$\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Foren:

• siehe Diskussion Informatik WS07 Beispiel 397 und WS07 Beispiel 397 und 401

Wikipedia:

• Gauß'sches Eliminationsverfahren
• Lineares Gleichungssystem
• Äquivalenzumformung

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