TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 544

Man untersuche die Lösbarkeit des folgenden Gleichungssystems und berechne gegebenenfalls alle Lösungen:

${\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&2\\3\cdot x_{1}&+&x_{2}&-&2\cdot x_{3}&+&4\cdot x_{4}&=&2\\-x_{1}&+&4\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&3\cdot x_{4}&=&2\\2\cdot x_{1}&+&4\cdot x_{2}&&&+&x_{4}&=&1\end{aligned}}$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

eine Frage: wie bestimmt man die Lösbarkeit überhaupt? Die Gleichung rg(A)=rg(A*b) muss stimmen, oder? Überprüft ihr das in dieser Lösung?

Lösungsvorschlag von Hapi

1. Schritt: Eliminiere alle $x_{1}$, indem man die erste Zeile 3x von der 2. Abzieht, 1x zur dritten addiert und 2x von der 4 abzieht.

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\3&1&-2&4&|&2\\-1&4&3&-3&|&2\\2&4&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\3\cdot x_{1}&+&x_{2}&-&2\cdot x_{3}&+&4\cdot x_{4}&=&+2&&-3*1.Zeile\\-x_{1}&+&4\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&3\cdot x_{4}&=&+2&&+1*1.Zeile\\2\cdot x_{1}&+&4\cdot x_{2}&&&+&x_{4}&=&+1&&-2*1.Zeile\end{aligned}}$

gibt

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&-5&1&1&|&-4\\0&6&2&-2&|&4\\0&0&2&-1&|&-3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&-&5\cdot x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&=&-4&&(2-3*2)\\&+&6\cdot x_{2}&+&2\cdot x_{3}&-&2\cdot x_{4}&=&+4&&(2+1*2)\\&&&&2\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&-3&&(1-2*2)\end{aligned}}$

2. Schritt: wir erzeugen ein $x_{2}$, indem wir die 2. Zeile zur 3. Zeile addieren und im nächsten Schritt Zeile 2 und 3 vertauschen.

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&-5&1&1&|&-4\\0&6&2&-2&|&4\\0&0&2&-1&|&-3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&-&5\cdot x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&=&-4&&\\&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&+0&&(4+1*-4)\\&&&&2\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&-3&&\end{aligned}}$

gibt

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&1&3&-1&|&0\\0&-5&1&1&|&-4\\0&0&2&-1&|&-3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&+0&&(2-3Zeile)\\&-&5\cdot x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&=&-4&&\\&&&&2\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&-3&&\end{aligned}}$

3. Schritt: wir eliminieren $x_{2}$ in der 3. Zeile, indem wir ein vielfaches der 2. Zeile verwenden und multiplizieren die 4. Zeile mit -1.

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&1&3&-1&|&0\\0&0&16&-4&|&-4\\0&0&-2&1&|&3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&+0&&\\&&&+&16\cdot x_{3}&-&4\cdot x_{4}&=&-4&&(5*2.Zeile)\\&&&-&2\cdot x_{3}&&x_{4}&=&3&&\end{aligned}}$

4. Schritt: 3. Zeile und 4. Zeile vertauschen, dann 3. und 4. Spalte.

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&-4&16&|&-4\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&x_{4}&-&x_{3}&=&+2\\&+&x_{2}&-&x_{4}&+&3\cdot x_{3}&=&+0&&\\&&&+&x_{4}&+&2\cdot x_{3}&=&3&&(3.u.4.Zeile)\\&&&-&4\cdot x_{4}&+&16\cdot x_{3}&=&-4&&(3.u.4.Spalte)\end{aligned}}$

5. Schritt: 4. Zeile $x_{4}$ auslöschen.

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&0&8&|&8\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&x_{4}&-&x_{3}&=&+2\\&+&x_{2}&-&x_{4}&+&3\cdot x_{3}&=&+0&&\\&&&+&x_{4}&+&2\cdot x_{3}&=&3&&\\&&&&&+&24\cdot x_{3}&=&8&&(+4*3.Zeile)\end{aligned}}$

6. Schritt: 4. Zeile durch 24 dividieren und auf Halbdiagonalform bringen

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&x_{4}&-&x_{3}&=&+2\\&+&x_{2}&-&x_{4}&+&3\cdot x_{3}&=&+0&&\\&&&+&x_{4}&+&2\cdot x_{3}&=&3&&\\&&&&&+&x_{3}&=&1/3&&(4.Zeile*1/24)\end{aligned}}$

7. Schritt: Einheitsmatix erzeugen

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&2&1&0&|&3\\0&1&0&3&|&5\\0&0&1&0&|&5\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&0&1&0&|&-1\\0&1&0&0&|&2\\0&0&1&0&|&5\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&0&0&0&|&-6\\0&1&0&0&|&2\\0&0&1&0&|&5\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}$

Somit wäre so kein Rechenfehler passiert ist, folgende Lösung gegeben: $x_{1}=-6$ , $x_{2}=2$ , $x_{4}=5$ und $x_{3}=1$

Da $x_{3}$ und $x_{4}$ vertauscht wurden (Spaltenvertauschung!!), sind sie wieder zurückzutauschen. Um darauf aufmerksam zu machen, wurde das Geleichungssystem parallel mitgeführt.

Das ergibt nur eine Lösung, den Vektor: ${\begin{pmatrix}-6\\2\\1\\5\end{pmatrix}}$

Kommentar von nunia3: Ich hab einen Vorzeichefehler gefunden und gleich ausgebessert. Jetzt stimmts. Anmerkung von Hapi: Hab die Vorzeichenfehler im rechten Gleichungssystem korrigiert, sorry!

Links

• siehe Diskussion Informatik WS07 Beispiel 397 und WS07 Beispiel 397 und 401