TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 549

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $K$:

a) $K=\mathbb {R}$

b) $K=\mathbb {Z} _{3}$

${\begin{alignedat}{1}2\cdot &x_{1}&+&x_{2}&+x_{3}&+&x_{4}&=1&\\\,&x_{1}&\,&\,&+x_{3}&-2\cdot &x_{4}&=1&\\7\cdot &x_{1}&\,&\,&+x_{3}&+&x_{4}&=7&\end{alignedat}}$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Jozott

a)

Wir schreiben das Gleichungssystem in die Koeffizientenmatrix um und fügen den Vektor der Lösungen an die rechte Seite.

${\begin{pmatrix}2&1&1&1&|&1\\1&0&1&-2&|&1\\7&0&1&1&|&7\\\end{pmatrix}}$

Einfacher halber vertauschen wir die 1. mit der 2. Zeile, damit bekommen wir etwas angenehmere Zahlen später.

${\begin{pmatrix}1&0&1&-2&|&1\\2&1&1&1&|&1\\7&0&1&1&|&7\\\end{pmatrix}}$

Jetzt führen wir eine kurze Zeilenumformung durch.

${\begin{pmatrix}1&0&1&-2&|&1\\0&1&-1&5&|&-1\\0&0&-6&15&|&0\\\end{pmatrix}}$ $//Z_{2}\leftarrow Z_{2}-2*Z_{1}\quad //Z_{3}\leftarrow Z_{3}-7*Z_{1}$

Aufgrund der Form (siehe Buch Seite 132), können wir erkennen dass es eine mehrdeutige Lösung (bzw. unendlich viele Lösungen über dem Körper $\mathbb {R}$).

Jetzt müssen wir die Lösungen nur noch in die Form mehrer Gleichungen für $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ bringen. Dabei gehen wir von der untersten Zeile bis zur obersten.#

${\begin{aligned}-6x_{3}+15x_{4}=0\\-6x_{3}=-15x_{4}\\x_{3}=2,5x_{4}\end{aligned}}$

Wir haben also unsere erste Lösung für $x_{3}$und verwenden die für die nächste Gleichung für $x_{2}$.

${\begin{aligned}x_{2}-x_{3}+5x_{4}=(-1)\\x_{2}=(-1)+x_{3}-5x_{4}\\x_{2}=(-1)+2,5x_{4}-5x_{4}\\x_{2}=(-1)-2,5x_{4}\end{aligned}}$

Das ganze machen wir nochmal für die erste Zeile.

${\begin{aligned}x_{1}+x_{3}-2x_{4}=1\\x_{1}=1-x_{3}+2x_{4}\\x_{1}=1-2,5x_{4}-2x_{4}\\x_{1}=1-0,5x_{4}\end{aligned}}$

Unser Lösungsvektor lautet also: ${\vec {x}}=\left({\begin{array}{c}1-0,5x_{4}\\(-1)-2,5x_{4}\\2,5x_{4}\end{array}}\right)$

• Anmerkung von Alex: Bin auf die folgende Lösung gekommen. Ich habe dabei x4 := t gesetzt.

${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\\\end{pmatrix}}+t*{\begin{pmatrix}-1/2\\-15/6\\15/6\\1\\\end{pmatrix}}$

b)

Die Menge $\mathbb {Z} _{3}$besteht aus den Restklassen ${\bar {0}}\{...,-3,0,3,6,...\},{\bar {1}}\{...,-2,1,4,7,...\},{\bar {2}}\{...,-1,2,5,8,...\}$, mit denen wir rechnen können.

Wir schreiben die Gleichungen also wieder in eine Matrix um, wobei wir die Restklassen verwenden.

${\begin{pmatrix}2&1&1&1&|&1\\1&0&1&1&|&1\\1&0&1&1&|&1\\\end{pmatrix}}$

Wir vertauschen noch einmal Zeile 1 und Zeile 2.

${\begin{pmatrix}1&0&1&1&|&1\\2&1&1&1&|&1\\1&0&1&1&|&1\\\end{pmatrix}}$

Und führen einfache Zeilenumformungen durch.

${\begin{pmatrix}1&0&1&1&|&1\\0&1&2&2&|&2\\0&0&0&0&|&0\\\end{pmatrix}}$ $//Z_{2}\leftarrow Z_{2}-2*Z_{1}\quad //Z_{3}\leftarrow Z_{3}-1*Z_{1}$

Wir sehen, dass eine 0-Zeile herauskommt, was darauf schließen lässt, dass das Gleichungssystem unlösbar ist. (siehe Buch Seite 132)

Durch die Form sieht man, dass es wieder zu unendlich vielen Lösungen kommt. Jetzt muss die erste und die zweite Zeile noch auf $x_{1},x_{2}$ aufgelöst werden (wie bei a).

Anmerkung von Alex: Also im Grunde so. x3:= t, x4:= r ${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\\\end{pmatrix}}+t*{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\0\\\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\1\\\end{pmatrix}}$

--Jozott 10:17, 20. Jan. 2020 (CET)

Hilfreiches von Har203

Gaußsche Eliminationsverfahren

Das Gaußsche Eliminationsverfahren oder einfach Gauß-Verfahren (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen und beruht darauf, dass Äquivalenzumformungen zwar das Gleichungssystem ändern, aber die Lösung erhalten.

Lösungsvorschlag von Har203

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $K$. a) $K=\mathbb {R} \quad$ b) $K=\mathbb {Z} _{3}$

Folgendes Gleichungssystem ist gegeben:

${\begin{alignedat}{1}2\cdot &x_{1}&+&x_{2}&+x_{3}&+&x_{4}&=1&\\\,&x_{1}&\,&\,&+x_{3}&-2\cdot &x_{4}&=1&\\7\cdot &x_{1}&\,&\,&+x_{3}&+&x_{4}&=7&\end{alignedat}}$

a) Wir stellen das Gleichungssystem mittels erweiterter Matrix auf:

${\begin{alignedat}{1}\left({\begin{array}{cccr|c}2&1&1&1&1\\1&0&1&-2&1\\7&0&1&1&7\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to -Z2\\\to 2\cdot Z2-Z1\,\\\to -7\cdot Z2\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccr|c}1&1&0&3&0\\0&-1&1&-5&1\\0&0&-6&15&0\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to +Z2\,\\\to \cdot (-1)\\\to \cdot (-1/6)\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccr|r}1&0&1&-2&1\\0&1&-1&5&-1\\0&0&1&-5/2&0\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to -Z3\,\\\to +Z3\,\\\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccr|c}1&0&0&1/2&1\\0&1&0&5/2&-1\\0&0&1&-5/2&0\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

$\implies$ Als Lösungsraum erhalten wir: $x_{3}={\frac {5}{2}}\cdot x_{4}$, $\;x_{2}=-(1+{\frac {5}{2}}\cdot x_{4})$ und $\;x_{1}=1-{\frac {1}{2}}\cdot x_{4}$

D.h. wir haben abhängig von $x_{4}\in \mathbb {R}$ drei Geraden:

• für $x_{1}\colon \,$ eine Gerade durch den Punkt $P_{1}=\left({\begin{array}{r}0\\1\end{array}}\right)$ mit der Steigung $k_{1}=-{\frac {1}{2}}$
• für $x_{2}\colon \,$ eine Gerade durch den Punkt $P_{2}=\left({\begin{array}{r}0\\-1\end{array}}\right)$ mit der Steigung $k_{2}=-{\frac {5}{2}}$
• für $x_{3}\colon \,$ eine Gerade durch den Punkt $P_{3}=\left({\begin{array}{r}0\\0\end{array}}\right)$ mit der Steigung $k_{3}={\frac {5}{2}}$

Alle Variable $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}$ sind aus $\mathbb {R}$ und somit gültige Lösungen.

b) Über dem Körper $K=\mathbb {Z} _{3}$ müssen wir die Umformungen neu und nur mit Hilfsmittel aus $\mathbb {Z} _{3}$ durchführen. Wir haben jetzt nur die Restklassen ${\overline {0}},\,{\overline {1}}$ und ${\overline {2}}$. D.h. wir werden alle negativen Zahlen und Zahlen $\geq 3$ durch die entsprechende Restklasse ersetzen ($\pm \,3$ addieren). Das Gleichungssystem in $\mathbb {Z} _{3}$ schaut folgend aus

${\begin{alignedat}{1}{\overline {2}}\cdot &x_{1}&+&x_{2}&+x_{3}&+&x_{4}&={\overline {1}}&\\\,&x_{1}&\,&\,&+x_{3}&+&x_{4}&={\overline {1}}&\\{\overline {1}}\cdot &x_{1}&\,&\,&+x_{3}&+&x_{4}&={\overline {1}}&\end{alignedat}}$

Wir stellen das Gleichungssystem mittels erweiterter Matrix auf:

${\begin{alignedat}{1}\left({\begin{array}{cccr|c}2&1&1&1&1\\1&0&1&1&1\\1&0&1&1&1\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to 2\cdot Z1\\\to Z2+Z1\,\\\to -Z2\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccr|c}1&2&2&2&2\\0&1&2&2&2\\0&0&0&0&0\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to +Z2\,\;\\\,\\\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccr|r}1&0&1&1&1\\0&1&2&2&2\\0&0&0&0&0\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

$\implies$ Als Lösungsraum erhalten wir:

$x_{2}+{\overline {2}}\cdot x_{3}+{\overline {2}}\cdot x_{4}={\overline {2}}\quad \mid \cdot {\overline {2}}\implies {\overline {2}}\cdot x_{2}+x_{3}+x_{4}={\overline {1}}\quad \mid +x_{2}\implies \color {green}x_{3}+x_{4}\color {black}=\color {blue}x_{2}+{\overline {1}}\color {black}$ und $\;x_{1}+\color {green}x_{3}+x_{4}\color {black}={\overline {1}}\implies x_{1}+\color {blue}x_{2}+{\overline {1}}\color {black}={\overline {1}}\quad \mid +{\overline {2}}\implies \color {red}x_{1}+x_{2}={\overline {0}}\color {black}$

Das ergibt in $\mathbb {Z} _{3}$ folgende neun Lösungen:

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}x_{1}&x_{2}&\color {green}x_{3}&\color {blue}x_{4}&x_{3}+x_{4}+{\overline {2}}\cdot x_{2}+{\overline {2}}=0&OK;?\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&\color {green}{\overline {0}}&\color {blue}{\overline {1}}&\mathbf {\overline {0}} &\surd \\{\overline {1}}&{\overline {2}}&\color {green}{\overline {0}}&\color {blue}{\overline {0}}&\mathbf {\overline {0}} &\surd \\{\overline {2}}&{\overline {1}}&\color {green}{\overline {0}}&\color {blue}{\overline {2}}&\mathbf {\overline {0}} &\surd \\{\overline {0}}&{\overline {0}}&\color {green}{\overline {1}}&\color {blue}{\overline {0}}&\mathbf {\overline {0}} &\surd \\{\overline {1}}&{\overline {2}}&\color {green}{\overline {1}}&\color {blue}{\overline {2}}&\mathbf {\overline {0}} &\surd \\{\overline {2}}&{\overline {1}}&\color {green}{\overline {1}}&\color {blue}{\overline {1}}&\mathbf {\overline {0}} &\surd \\{\overline {0}}&{\overline {0}}&\color {green}{\overline {2}}&\color {blue}{\overline {2}}&\mathbf {\overline {0}} &\surd \\{\overline {1}}&{\overline {2}}&\color {green}{\overline {2}}&\color {blue}{\overline {1}}&\mathbf {\overline {0}} &\surd \\{\overline {2}}&{\overline {1}}&\color {green}{\overline {2}}&\color {blue}{\overline {0}}&\mathbf {\overline {0}} &\surd \end{array}}$

$\qquad \qquad \blacksquare$