TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 546

Man untersuche die Lösbarkeit des folgenden Gleichungssystems und berechne gegebenenfalls alle Lösungen:

${\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&2\\3\cdot x_{1}&+&x_{2}&-&2\cdot x_{3}&+&4\cdot x_{4}&=&2\\-x_{1}&+&4\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&3\cdot x_{4}&=&2\\2\cdot x_{1}&+&4\cdot x_{2}&&&+&x_{4}&=&1\end{aligned}}$

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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

eine Frage: wie bestimmt man die Lösbarkeit überhaupt? Die Gleichung rg(A)=rg(A*b) muss stimmen, oder? Überprüft ihr das in dieser Lösung?

Lösungsvorschlag von Hapi

1. Schritt: Eliminiere alle $x_{1}$, indem man die erste Zeile 3x von der 2. Abzieht, 1x zur dritten addiert und 2x von der 4 abzieht.

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\3&1&-2&4&|&2\\-1&4&3&-3&|&2\\2&4&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\3\cdot x_{1}&+&x_{2}&-&2\cdot x_{3}&+&4\cdot x_{4}&=&+2&&-3*1.Zeile\\-x_{1}&+&4\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&3\cdot x_{4}&=&+2&&+1*1.Zeile\\2\cdot x_{1}&+&4\cdot x_{2}&&&+&x_{4}&=&+1&&-2*1.Zeile\end{aligned}}$

gibt

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&-5&1&1&|&-4\\0&6&2&-2&|&4\\0&0&2&-1&|&-3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&-&5\cdot x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&=&-4&&(2-3*2)\\&+&6\cdot x_{2}&+&2\cdot x_{3}&-&2\cdot x_{4}&=&+4&&(2+1*2)\\&&&&2\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&-3&&(1-2*2)\end{aligned}}$

2. Schritt: wir erzeugen ein $x_{2}$, indem wir die 2. Zeile zur 3. Zeile addieren und im nächsten Schritt Zeile 2 und 3 vertauschen.

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&-5&1&1&|&-4\\0&6&2&-2&|&4\\0&0&2&-1&|&-3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&-&5\cdot x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&=&-4&&\\&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&+0&&(4+1*-4)\\&&&&2\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&-3&&\end{aligned}}$

gibt

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&1&3&-1&|&0\\0&-5&1&1&|&-4\\0&0&2&-1&|&-3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&+0&&(2-3Zeile)\\&-&5\cdot x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&=&-4&&\\&&&&2\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&-3&&\end{aligned}}$

3. Schritt: wir eliminieren $x_{2}$ in der 3. Zeile, indem wir ein vielfaches der 2. Zeile verwenden und multiplizieren die 4. Zeile mit -1.

${\begin{pmatrix}1&2&-1&1&|&2\\0&1&3&-1&|&0\\0&0&16&-4&|&-4\\0&0&-2&1&|&3\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&=&+2\\&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&-&x_{4}&=&+0&&\\&&&+&16\cdot x_{3}&-&4\cdot x_{4}&=&-4&&(5*2.Zeile)\\&&&-&2\cdot x_{3}&&x_{4}&=&3&&\end{aligned}}$

4. Schritt: 3. Zeile und 4. Zeile vertauschen, dann 3. und 4. Spalte.

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&-4&16&|&-4\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&x_{4}&-&x_{3}&=&+2\\&+&x_{2}&-&x_{4}&+&3\cdot x_{3}&=&+0&&\\&&&+&x_{4}&+&2\cdot x_{3}&=&3&&(3.u.4.Zeile)\\&&&-&4\cdot x_{4}&+&16\cdot x_{3}&=&-4&&(3.u.4.Spalte)\end{aligned}}$

5. Schritt: 4. Zeile $x_{4}$ auslöschen.

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&0&8&|&8\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&x_{4}&-&x_{3}&=&+2\\&+&x_{2}&-&x_{4}&+&3\cdot x_{3}&=&+0&&\\&&&+&x_{4}&+&2\cdot x_{3}&=&3&&\\&&&&&+&24\cdot x_{3}&=&8&&(+4*3.Zeile)\end{aligned}}$

6. Schritt: 4. Zeile durch 24 dividieren und auf Halbdiagonalform bringen

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{aligned}x_{1}&+&2\cdot x_{2}&+&x_{4}&-&x_{3}&=&+2\\&+&x_{2}&-&x_{4}&+&3\cdot x_{3}&=&+0&&\\&&&+&x_{4}&+&2\cdot x_{3}&=&3&&\\&&&&&+&x_{3}&=&1/3&&(4.Zeile*1/24)\end{aligned}}$

7. Schritt: Einheitsmatix erzeugen

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1&|&2\\0&1&-1&3&|&0\\0&0&1&-2&|&3\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&2&1&0&|&3\\0&1&0&3&|&5\\0&0&1&0&|&5\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&0&1&0&|&-1\\0&1&0&0&|&2\\0&0&1&0&|&5\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&0&0&0&|&-6\\0&1&0&0&|&2\\0&0&1&0&|&5\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}}$

Somit wäre so kein Rechenfehler passiert ist, folgende Lösung gegeben: $x_{1}=-6$ , $x_{2}=2$ , $x_{4}=5$ und $x_{3}=1$

Da $x_{3}$ und $x_{4}$ vertauscht wurden (Spaltenvertauschung!!), sind sie wieder zurückzutauschen. Um darauf aufmerksam zu machen, wurde das Geleichungssystem parallel mitgeführt.

Das ergibt nur eine Lösung, den Vektor: ${\begin{pmatrix}-6\\2\\1\\5\end{pmatrix}}$

Kommentar von nunia3: Ich hab einen Vorzeichefehler gefunden und gleich ausgebessert. Jetzt stimmts. Anmerkung von Hapi: Hab die Vorzeichenfehler im rechten Gleichungssystem korrigiert, sorry!

Hilfreiches von Har203

Gaußsche Eliminationsverfahren

Das Gaußsche Eliminationsverfahren oder einfach Gauß-Verfahren (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen und beruht darauf, dass Äquivalenzumformungen zwar das Gleichungssystem ändern, aber die Lösung erhalten.

Lösungsvorschlag von Har203

Untersuchen Sie die Lösbarkeit des folgenden Gleichungssystems und berechnen Sie gegebenenfalls mit Hilfe des Gaußsche Eliminationsverfahren alle Lösungen.

Folgendes Gleichungssystem ist gegeben:

${\begin{alignedat}{1}&x_{1}&\;+\;&2\cdot &x_{2}&\;-\;&&x_{3}&\;+\;&&x_{4}&=2&\\3\cdot &x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;-\;&2\cdot &x_{3}&\;+\;&4\cdot &x_{4}&=2&\\-1\cdot &x_{1}&\;+\;&4\cdot &x_{2}&\;+\;&3\cdot &x_{3}&\;-\;&3\cdot &x_{4}&=2&\\2\cdot &x_{1}&\;+\;&4\cdot &x_{2}&\;\;&&&\;+\;&&x_{4}&=1&\end{alignedat}}$

Wir stellen das Gleichungssystem mittels erweiterter Matrix auf:

${\begin{alignedat}{1}\left({\begin{array}{cccc|c}1&2&-1&1&2\\3&1&-2&4&2\\-1&4&3&-3&2\\2&4&0&1&1\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\;\\\to +3\cdot Z3\,\\\to +Z1\,\\\to +2\cdot Z3\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}1&2&-1&1&2\\0&13&7&-5&8\\0&6&2&-2&4\\0&12&6&-5&5\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to -{\frac {1}{3}}\cdot Z3\,\\\to -Z4\\\to Z3/6-Z2/13\;\\\to Z4/12-Z2/13\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}1&0&-5/3&5/3&2/3\\0&1&1&0&3\\0&0&-8/39&2/39&2/39\\0&0&-6/156&-5/156&-31/156\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\,\\\,\\\to \cdot (-{\frac {39}{2}})\\\to \cdot 156\;\end{array}}\to \end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{1}\left({\begin{array}{cccc|c}1&0&-5/3&5/3&2/3\\0&1&1&0&3\\0&0&4&-1&-1\\0&0&6&5&31\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to Z1+5/12\cdot Z3\;\\\to -{\frac {1}{4}}\cdot Z3\;\\\to {\frac {1}{4}}\cdot Z3\,\\\to 3\cdot Z3-2\cdot Z4\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}1&0&0&5/4&1/4\\0&1&0&-1/4&13/4\\0&0&1&-1/4&-1/4\\0&0&0&-13&-65\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to {\frac {5}{52}}\cdot Z4\;\\\to +(-{\frac {1}{52}})\cdot Z4\;\\\to +(-{\frac {1}{52}})\cdot Z4\;\\\to (-{\frac {1}{13}})\cdot Z4\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}1&0&0&0&-6\\0&1&0&0&2\\0&0&1&0&1\\0&0&0&1&5\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Als Lösungsraum erhalten wir die eindeutige Lösung mit

$x_{1}=-6,\,x_{2}=2,\,x_{3}=1,$ und $x_{4}=5$

$\qquad \qquad \blacksquare$

Links

• siehe Diskussion Informatik WS07 Beispiel 397 und WS07 Beispiel 397 und 401