TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 547

Bestimmen Sie mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $K=\mathbb {Z} _{3}$, $\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$

  2x1 + x2+ x3 = 0
   x1 +     x3 = 1
  4x1 +     x3 = 4

Hilfreiches

Restklassen

Restklassen

Restklassen modulo $m$:

${\overline {a}}=\lbrace a+km|k\in \mathbb {Z} \rbrace _{m}$

LGS-Äquivalenzumformungen

LGS-Äquivalenzumformungen

Allgemein gilt:

Die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems ändert sich durch folgende Äquivalenzumformungen nicht:

• Vertauschen zweier Zeilen/Spalten,
• Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einem Faktor $\neq 0$,
• Addition einer Zeile/Spalte (mit einem Faktor) zu einer anderen Zeile/Spalte.

Lösungsversuch (korrigiert):

Also dürften x1, x2 und x3 Restklassen von Z3 sein! Daß 4 der Restklasse 1 entspricht, ignorieren wir erst mal.

   2 + 1 + 1 | 0
   1 + 0 + 1 | 1
   4 + 0 + 1 | 4

   1 + 0 + 1 | 1    Vertauschen Zeile 1 und 2
   2 + 1 + 1 | 0
   4 + 0 + 1 | 4

   1 + 0 + 1 |  1 
   0 + 1 - 1 | -2  (0-2)
   0 + 0 - 3 |  0  (4-4)

So ich mich nicht verrechnet habe, ergibt das folgende Restklassen:

x3 = 0, x1 = 1, x2 = -2 , wobei -2 der Restklasse 1 (mod 3) entspricht.

Da sich im Informatikforum diesbezügliche Fragen ergeben haben, setze ich halt mal in die Gleichungen ein, wobei ich mit Restklassen rechne (0,1,2. Restklasse 4 mod 3 entspricht ja dann 1). Werte sind x1 = 1, x2= 1, x3 = 0.

 2x1 + x2+ x3 = 0    2*1 + 1*1 + 1*0 = 3 = 0
  x1 +     x3 = 1    1*1        +1*0 = 1  
 4x1 +     x3 = 4    4*1        +1*0 = 4 = 1 

Hoffe jetzt sind alle Fragen beantwortet.

Danke Sloppy, für den Hinweis, Z3 ist natürlich mod 3 und nicht mod 4!

Hapi

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Lösung Übungsstunde Urbanek:

Hat sich ebenfalls die 3. Zeile durch Einsetzen Restkasse 4 = 1 gespart.

   2 + 1 + 1 |  0                  x2 + 2s = 1    ----->  x2 = 1-2s = 1 + s
   1 + 0 + 1 |  1   (-2*Zeile)     2x1 + 1 + 2s = 0 ----> 2x1 = = 2 +s, x1 = 1 + 2s 
   --------------
   0 + 1 + 2 |  1 

   Lösungsmenge L = (1+2s, 1+s, s) (s in Z3) oder 
                L = (1 1 0), (0 2 1), (2 0 2)         

Sieht so aus, als hätten wir alle nur Teillösungen erarbeitet.

Hapi

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Anderer Vorschlag:

Also zeile 3 könnte man sich sparen - das ist das gleiche wie zeile 2 weil 4 = 1 also steht dort:

    2 + 1 + 1 = 0
    1 + 0 + 1 = 1
    1 + 0 + 1 = 1     ( 4 = 1 in mod 3 )

also haben wir

    2 + 1 + 1 = 0
    1 + 0 + 1 = 1

jetzt nur beide zeilen zusammenzählen

   2 + 1 + 1 = 0
   0 + 1 + 2 = 1

dann können wir sagen x3 = r

        x2      + 2r   = 1 --> x2  = 1 - 2r = 1 + r    ( -2r = r in mod 3)
  2x1 + (1 + r) + r    = 0 --> 2x1 = r + 2 ( mit 2 multiplizieren ) = x1 = 2r + 1 ( wieder wegen restklasse 3 )

jetzt in die drei möglichen Lösungen einsetzen - also x3 = 0, x3 = 1, x3 = 2 - ab dann wiederholt es sich nur noch da wir sonst unendliche viele Lösungen haben.

x3 = 0
x1 = 2r + 1 ( da x3 = r ) --> x1 = 1
x2 = 1 + r  ( da x3 = r ) --> x2 = 1

1. Lösung ist also: x3 = 0, x1 = 1, x2 = 1

x3 = 1
x1 = 2 + 1 = 3 ( mod 3 ) = 0
x2 = 1 + 1 = 2

2. Lösung ist also: x3 = 1, x1 = 0, x2 = 2

x3 = 2
x1 = 4 + 1 = 5 = 2
x2 = 1 + 2 = 3 = 0

3. Lösung ist also: x3 = 2, x1 = 2, x2 = 0

hoffe das war halbwegs verständlich

Verucca

Links

• Diskssion im UE-Forum

Wikipädia:

• Gauß'sches Eliminationsverfahren