TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 548

Bestimmen Sie mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K:

a) $K=\mathbb {R}$

b) $K=\mathbb {Z} _{2}$

${\begin{aligned}-3x_{1}&+x_{2}+2x_{3}&+x_{4}&=2\\-x_{1}&+x_{2}+x_{3}&-x_{4}&=1\\-5x_{1}&+x_{2}+3x_{3}&+3x_{4}&=1\end{aligned}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von RolandU, erweitert von mnemetz

Zuerst einmal bringe ich das ganze in eine tabellarische Form.

${\begin{aligned}-3\cdot x_{1}&+&x_{2}&+&2\cdot x_{3}&+&x_{4}&=&2\\-x_{1}&+&x_{2}&+&x_{3}&-&x_{4}&=&1\\-5\cdot x_{1}&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&+&3\cdot x_{4}&=&1\end{aligned}}$

Das stellen wir als Matrix dar:

${\begin{pmatrix}-3&1&2&1&|&2\\-1&1&1&-1&|&1\\-5&1&3&3&|&1\\\end{pmatrix}}$

Da das drei unabhängige Gleichungen sind, kann ich sie beliebig anschreiben. Im Grunde haben sie ja nichts miteinander zu tun. Deswegen vertausche ich jetzt die 1. und die 2. Zeile.

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\-3&1&2&1&|&2\\-5&1&3&3&|&1\\\end{pmatrix}}$

So, als nächstes ein paar Umformungen.

• Zeile II neu = Zeile II - 3 * Zeile I
• Zeile III neu = Zeile III - 5 * Zeile I

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\0&2&1&-4&|&1\\0&4&2&-8&|&4\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\0&-2&-1&4&|&-1\\0&-4&-2&8&|&-4\\\end{pmatrix}}$

• Next step: III - 2*II

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\0&2&1&-4&|&1\\0&0&0&0&|&-2\\\end{pmatrix}}$

0 = -2 - das ist nicht lösbar!

• Ich glaube das Ergebnis nicht und suche den Rechenfehler... (RolandU)
• Roland, das Ergebnis stimmt schon! Das Gleichungssystem hat gar keine Lösung! (mnemetz)

b) $K=\mathbb {Z} _{2}$

• siehe Datei:Mathe1-sol.pdf

Hilfreiches von Har203

Gaußsche Eliminationsverfahren

Das Gaußsche Eliminationsverfahren oder einfach Gauß-Verfahren (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen und beruht darauf, dass Äquivalenzumformungen zwar das Gleichungssystem ändern, aber die Lösung erhalten.

Lösungsvorschlag von Har203

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $K$. a) $K=\mathbb {R} \quad$ b) $K=\mathbb {Z} _{2}$

Folgendes Gleichungssystem ist gegeben:

${\begin{alignedat}{1}-3\cdot &x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;+\;&2\cdot &x_{3}&\;+\;&&x_{4}&=2&\\-1\cdot &x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;+\;&&x_{3}&\;-\;&&x_{4}&=1&\\-5\cdot &x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;+\;&3\cdot &x_{3}&\;+\;&3\cdot &x_{4}&=1&\end{alignedat}}$

Wir stellen das Gleichungssystem mittels erweiterter Matrix auf:

${\begin{alignedat}{1}\left({\begin{array}{cccc|c}-3&1&2&1&2\\-1&1&1&-1&1\\-5&1&3&3&1\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to (-{\frac {1}{3}})\cdot Z1\,\\\to 3\cdot Z2-Z1\,\\\to -5\cdot Z2\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}1&-1/3&-2/3&-1/3&-2/3\\0&2&1&-4&1\\0&-4&-2&8&-4\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to +{\frac {1}{6}}\cdot Z2\,\\\to {\frac {1}{2}}\cdot Z2\\\to +2\cdot Z2\;\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}1&0&-1/2&-1&-1/2\\0&1&1/2&-2&1/2\\0&0&0&0&-2\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

a) In der letzten Zeile sehen wir, dass die Gleichung $0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}+0\cdot x_{4}=-2$ im Körper $\mathbb {R}$ keine Lösung hat. D.h., dass das gesamte Gleischungssystem keine Lösung in $K=\mathbb {R}$ hat.

b) Über dem Körper $K=\mathbb {Z} _{2}$ müssen wir die Umformungen neu und nur mit Hilfsmittel aus $\mathbb {Z} _{2}$ durchführen. Wir haben jetzt nur die Restklassen ${\overline {0}}$ und ${\overline {1}}$. D.h. wir werden alle negativen Zahlen, sowie Zahlen $\geq 2$ durch die Restklasse ersetzen (mit $\pm 2$ addieren). Das Gleichungssystem in $\mathbb {Z} _{2}$ schaut folgend aus:

${\begin{alignedat}{1}&x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;\;&&&\;+\;&x_{4}&={\overline {0}}&\\&x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;+\;&&x_{3}&\;+\;&x_{4}&={\overline {1}}&\\&x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;+\;&&x_{3}&\;+\;&x_{4}&={\overline {1}}&\end{alignedat}}$

Wir stellen das Gleichungssystem mittels erweiterter Matrix auf:

${\begin{alignedat}{1}\left({\begin{array}{cccc|c}{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\;\\\to +Z1\;\\\to +Z2\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\\{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Unser Lösungsraum ist $x_{3}={\overline {1}}$ und die Gleichung $x_{1}+x_{2}+x_{4}={\overline {0}}$ muss erfüllt sein.

Das ergibt in $\mathbb {Z} _{2}$ folgende vier Lösungen:

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{1}+x_{2}+x_{4}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\\{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\\{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\end{array}}$ 

$\qquad \qquad \blacksquare$