TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 548

Bestimmen Sie mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K:
a) $K=\mathbb {R}$
b) $K=\mathbb {Z} _{2}$
${\begin{aligned}-3x_{1}&+x_{2}+2x_{3}&+x_{4}&=2\\-x_{1}&+x_{2}+x_{3}&-x_{4}&=1\\-5x_{1}&+x_{2}+3x_{3}&+3x_{4}&=1\end{aligned}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von RolandU, erweitert von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst einmal bringe ich das ganze in eine tabellarische Form.

${\begin{aligned}-3\cdot x_{1}&+&x_{2}&+&2\cdot x_{3}&+&x_{4}&=&2\\-x_{1}&+&x_{2}&+&x_{3}&-&x_{4}&=&1\\-5\cdot x_{1}&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&+&3\cdot x_{4}&=&1\end{aligned}}$

Das stellen wir als Matrix dar:

${\begin{pmatrix}-3&1&2&1&|&2\\-1&1&1&-1&|&1\\-5&1&3&3&|&1\\\end{pmatrix}}$

Da das drei unabhängige Gleichungen sind, kann ich sie beliebig anschreiben. Im Grunde haben sie ja nichts miteinander zu tun. Deswegen vertausche ich jetzt die 1. und die 2. Zeile.

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\-3&1&2&1&|&2\\-5&1&3&3&|&1\\\end{pmatrix}}$

So, als nächstes ein paar Umformungen.

Zeile II neu = Zeile II - 3 * Zeile I
Zeile III neu = Zeile III - 5 * Zeile I

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\0&2&1&-4&|&1\\0&4&2&-8&|&4\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\0&-2&-1&4&|&-1\\0&-4&-2&8&|&-4\\\end{pmatrix}}$

Next step: III - 2*II

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\0&2&1&-4&|&1\\0&0&0&0&|&-2\\\end{pmatrix}}$

0 = -2 - das ist nicht lösbar!

Ich glaube das Ergebnis nicht und suche den Rechenfehler... (RolandU)
Roland, das Ergebnis stimmt schon! Das Gleichungssystem hat gar keine Lösung! (mnemetz)

b) $K=\mathbb {Z} _{2}$

siehe Datei:Mathe1-sol.pdf

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineares Gleichungssystem

Gauß'sches Eliminationsverfahren

Das gaußsche Eliminationsverfahren oder einfach Gauß-Verfahren (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen und beruht darauf, dass Äquivalenzumformungen zwar das Gleichungssystem ändern, aber die Lösung erhalten. Dies erlaubt es, jedes eindeutig lösbare Gleichungssystem auf Stufenform zu bringen, an der die Lösung durch sukzessive Elimination der Unbekannten leicht ermittelt oder die Lösungsmenge abgelesen werden kann.

LGS-Äquivalenzumformungen

Allgemein gilt: Die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems ändert sich durch folgende Äquivalenzumformungen nicht:

Vertauschen zweier Zeilen/Spalten,
Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einem Faktor $\neq 0$ ,
Addition einer Zeile/Spalte (mit einem Faktor) zu einer anderen Zeile/Spalte.

Zeilen-/Spaltenrang einer Matrix

Für eine Matrix $A$ definiert man den Zeilenraum $ZR(A)$ als die lineare_Hülle der Zeilenvektoren aus $A$ . Die [Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang, sie entspricht der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.

Analog definiert man den Spaltenraum $SR(A)$ und den Spaltenrang durch die Spaltenvektoren. Man kann für Matrizen mit Elementen aus einem Körper zeigen, dass der Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist. Dies gilt für Matrizen über einem beliebigen kommutativen Ring, der kein Körper ist, im Allgemeinen nicht.

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

\operatorname {rg} (f)=\dim(\operatorname {im} (f))

, also dem Bild der Abbildung

f

.

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $K$ . a) $K=\mathbb {R} \quad$ b) $K=\mathbb {Z} _{2}$

Folgendes Gleichungssystem ist gegeben:

 ${\begin{alignedat}{1}-3\cdot &x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;+\;&2\cdot &x_{3}&\;+\;&&x_{4}&=2&\\-1\cdot &x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;+\;&&x_{3}&\;-\;&&x_{4}&=1&\\-5\cdot &x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;+\;&3\cdot &x_{3}&\;+\;&3\cdot &x_{4}&=1&\end{alignedat}}$

Wir stellen das Gleichungssystem mittels erweiterter Matrix auf:

 ${\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{cccc|c}-3&1&2&1&2\\-1&1&1&-1&1\\-5&1&3&3&1\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to (-{\frac {1}{3}})\cdot Z1\,\\\to 3\cdot Z2-Z1\,\\\to -5\cdot Z2\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}1&-1/3&-2/3&-1/3&-2/3\\0&2&1&-4&1\\0&-4&-2&8&-4\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to +{\frac {1}{6}}\cdot Z2\,\\\to {\frac {1}{2}}\cdot Z2\\\to +2\cdot Z2\;\;\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{cccc|c}1&0&-1/2&-1&-1/2\\0&1&1/2&-2&1/2\\0&0&0&0&-2\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

a) In der letzten Zeile sehen wir, dass die Gleichung $0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}+0\cdot x_{4}=-2$ im Körper $\mathbb {R}$ keine Lösung hat. D.h., dass das gesamte Gleischungssystem keine Lösung in $K=\mathbb {R}$ hat.

b) Über dem Körper $K=\mathbb {Z} _{2}$ müssen wir die Umformungen neu und nur mit Hilfsmittel aus $\mathbb {Z} _{2}$ durchführen. Wir haben jetzt nur die Restklassen ${\overline {0}}$ und ${\overline {1}}$ . D.h. wir werden alle negativen Zahlen, sowie Zahlen $\geq 2$ durch die Restklasse ersetzen (mit $\pm 2$ addieren). Das Gleichungssystem in $\mathbb {Z} _{2}$ schaut folgend aus:

 ${\begin{alignedat}{1}&x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;\;&&&\;+\;&x_{4}&={\overline {0}}&\\&x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;+\;&&x_{3}&\;+\;&x_{4}&={\overline {1}}&\\&x_{1}&\;+\;&&x_{2}&\;+\;&&x_{3}&\;+\;&x_{4}&={\overline {1}}&\end{alignedat}}$

Wir stellen das Gleichungssystem mittels erweiterter Matrix auf:

 ${\begin{alignedat}{1}\left({\begin{array}{cccc|c}{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\;\\\to +Z1\;\\\to +Z2\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{cccc|c}{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\\{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Unser Lösungsraum ist $x_{3}={\overline {1}}$ und die Gleichung $x_{1}+x_{2}+x_{4}={\overline {0}}$ muss erfüllt sein.

Das ergibt in $\mathbb {Z} _{2}$ folgende vier Lösungen:

 ${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{1}+x_{2}+x_{4}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\\{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\\{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\end{array}}$

$\qquad \qquad \blacksquare$

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