TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 551

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $K$ .
a) $K = ℚ$ \quadb) $K = ℤ_{11}$

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Lineares Gleichungssystem

Gauß'sches Eliminationsverfahren

Das gaußsche Eliminationsverfahren oder einfach Gauß-Verfahren (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen und beruht darauf, dass Äquivalenzumformungen zwar das Gleichungssystem ändern, aber die Lösung erhalten. Dies erlaubt es, jedes eindeutig lösbare Gleichungssystem auf Stufenform zu bringen, an der die Lösung durch sukzessive Elimination der Unbekannten leicht ermittelt oder die Lösungsmenge abgelesen werden kann.

LGS-Äquivalenzumformungen

Allgemein gilt: Die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems ändert sich durch folgende Äquivalenzumformungen nicht:

Vertauschen zweier Zeilen/Spalten,
Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einem Faktor $\neq 0$ ,
Addition einer Zeile/Spalte (mit einem Faktor) zu einer anderen Zeile/Spalte.

Zeilen-/Spaltenrang einer Matrix

Für eine Matrix $A$ definiert man den Zeilenraum $Z R (A)$ als die lineare_Hülle der Zeilenvektoren aus $A$ . Die [Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang, sie entspricht der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.

Analog definiert man den Spaltenraum $S R (A)$ und den Spaltenrang durch die Spaltenvektoren. Man kann für Matrizen mit Elementen aus einem Körper zeigen, dass der Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist. Dies gilt für Matrizen über einem beliebigen kommutativen Ring, der kein Körper ist, im Allgemeinen nicht.

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

rk (f) = \dim (im (f))

, also dem Bild der Abbildung

f

.

Lösungsvorschlag von Har203

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $K$ . a) $K = ℚ$ b) $K = ℤ_{11}$

Folgendes Gleichungssystem ist gegeben:

 $\begin{matrix} 2 \cdot & x_{1} & + 5 \cdot & x_{2} & - 2 \cdot & x_{3} & = 5 \\ 3 \cdot & x_{1} & + & x_{3} & = 4 \\ - & x_{2} & + 2 \cdot & x_{3} & = 1 \end{matrix}$

Wir stellen das Gleichungssystem mittels erweiterter Matrix auf:

 $\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 & 5 & - 2 & 5 \\ 3 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 2 & 1 \end{matrix}) \begin{matrix} \to Z 1 / 2 \\ \to 2 \cdot Z 2 - 3 \cdot Z 3 \end{matrix} \to (\begin{matrix} 1 & 5 / 2 & - 1 & 5 / 2 \\ 0 & - 15 & 8 & - 7 \\ 0 & - 1 & 2 & 1 \end{matrix}) \begin{matrix} \to Z 2 / (- 15) \\ \to 15 \cdot Z 3 - Z 2 \end{matrix} \to \\ (\begin{matrix} 1 & 5 / 2 & - 1 & 5 / 2 \\ 0 & 1 & - 8 / 15 & 7 / 15 \\ 0 & 0 & 22 & 22 \end{matrix}) \begin{matrix} \to Z 3 / 22 \end{matrix} \to (\begin{matrix} 1 & 5 / 2 & - 1 & 5 / 2 \\ 0 & 1 & - 8 / 15 & 7 / 15 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}$

a) In der letzten Zeile haben wir $x_{3} = 1 \in ℚ$ , in der zweiten Zeile erhalten wir $x_{2} - 8 / 15 = 7 / 15 ⟹ x_{2} = 1 \in ℚ$ und aus der ersten Zeie erhalten wir $x_{1} + 5 / 2 - 1 = 5 / 2 ⟹ x_{1} = x_{3} = 1 \in ℚ$ . D.h. die eindeutige Lösung in $ℚ$ ist $x_{1} = x_{2} = x_{3} = 1$ .

b) Über dem Körper $K = ℤ_{11}$ müssen wir die Umformungen neu und nur mit Hilfsmittel aus $ℤ_{11}$ durchführen. Wir haben jetzt nur die Restklassen $\overline{0}$ bis $\overline{10}$ . D.h. wir werden alle negativen Zahlen durch die positive Restklasse ersetzen (mit $11$ addieren). Das Gleichungssystem in $ℤ_{11}$ schaut folgend aus

 $\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 & 5 & 9 & 5 \\ 3 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 10 & 2 & 1 \end{matrix}) \begin{matrix} \to \overline{6} \cdot Z 1 \\ \to + \overline{4} \cdot Z 1 \end{matrix} \to (\begin{matrix} 1 & 8 & 10 & 8 \\ 0 & 9 & 4 & 2 \\ 0 & 10 & 2 & 1 \end{matrix}) \begin{matrix} \to + \overline{8} \cdot Z 3 \\ \to \overline{5} \cdot Z 2 \\ \to \overline{10} \cdot Z 3 \end{matrix} \to \\ (\begin{matrix} 1 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 9 & 10 \\ 0 & 1 & 9 & 10 \end{matrix}) \begin{matrix} \to + \overline{2} \cdot Z 2 \end{matrix} \to (\begin{matrix} 1 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 9 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \end{matrix}$

Erklärung zum Schritt 2:

2.Spalte, Zeile 1 und Zeile 3: Wir wollen in der ersten Zeile eine $\overline{0}$ erzeugen. D.h. wir müssen zu $\overline{8}$ in der ersten Zeile $\overline{3}$ addieren. Diese $\overline{3}$ müssen wir als Vielfaches von $\overline{10}$ in der dritten Zeile erzeugen. Da $11$ eine Primzahl ist, können wir in jedem Fall $\overline{10}$ sooft multiplizieren, dass wir die Restklasse $\overline{3}$ erhalten: $10 \cdot n = 11 \cdot m + \overline{3} ∣ + \overline{8} ⟹ 10 \cdot n + \overline{8} = 11 \cdot m ⟹ m = 8, n = 8 ⟹ \overline{8} + \overline{3} \equiv \overline{8} + 8 \cdot 10 mod 11 \equiv \overline{8} + 80 mod 11 \equiv \overline{8} + 7 \cdot 11 + \overline{3} mod 11 \equiv \overline{8} + \overline{3} mod 11 \equiv \overline{0} mod 11$

D.h. unsere Lösungsmatrix schaut folgend aus:

 $A^{*} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 9 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Unser Lösungsraum ist für $x_{2}$ und $x_{3}$ gegeben durch $x_{2} + 9 \cdot x_{3} = 10$ . Für $x_{1}$ gilt die Gleichung $x_{1} = 5 - 4 \cdot x_{3}$ .

Das ergibt in $ℤ_{11}$ folgende 11 Lösungen:

 $\begin{matrix} x_{2} & x_{3} & 9 \cdot x_{3} & \overline{R K} (9 \cdot x_{3}) & 4 \cdot x_{3} & \overline{R K} (4 \cdot x_{3}) & x_{1} = 5 - 4 \cdot x_{3} \\ \overline{0} & \overline{6} & \overline{54} & \overline{10} & \overline{24} & \overline{2} & \overline{3} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{9} & \overline{9} & \overline{4} & \overline{4} & \overline{1} \\ \overline{2} & \overline{7} & \overline{63} & \overline{8} & \overline{28} & \overline{6} & \overline{10} \\ \overline{3} & \overline{2} & \overline{18} & \overline{7} & \overline{8} & \overline{8} & \overline{8} \\ \overline{4} & \overline{8} & \overline{72} & \overline{6} & \overline{32} & \overline{10} & \overline{6} \\ \overline{5} & \overline{3} & \overline{27} & \overline{5} & \overline{12} & \overline{1} & \overline{4} \\ \overline{6} & \overline{9} & \overline{81} & \overline{4} & \overline{36} & \overline{3} & \overline{2} \\ \overline{7} & \overline{4} & \overline{36} & \overline{3} & \overline{16} & \overline{5} & \overline{0} \\ \overline{8} & \overline{10} & \overline{90} & \overline{2} & \overline{40} & \overline{7} & \overline{9} \\ \overline{9} & \overline{5} & \overline{45} & \overline{1} & \overline{20} & \overline{9} & \overline{7} \\ \overline{10} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{5} \end{matrix}$

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