TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 550

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K,
K=Q

2x₁ +x₂ + x₃ = 0
  x₁       + x₃ = 1
4x₁       + x₃ = 4

• Erweiterung der Aufgabenstellung zu diesem Beispiel (2025W):

a) $\,\color {red}K=\mathbb {Q} \quad$b) $\,\color {red}K=\mathbb {Z} _{3}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von mfa

(A, b)= ${\begin{pmatrix}2&1&1&|0\\1&0&1&|1\\4&0&1&|4\end{pmatrix}}$

Vertauschen der Zeilen wie folgt:
1. Zeile an 2. Stelle
2. Zeile an 3. Stelle
3. Zeile an 1. Stelle

(A, b)= ${\begin{pmatrix}4&0&1&|4\\2&1&1&|0\\1&0&1&|1\end{pmatrix}}$

1. Zeile - (3. Zeile * -4)

1. Zeile - (2. Zeile * -2)

(A, b) ${\begin{pmatrix}4&0&1&|4\\0&-2&-1&|4\\0&0&-3&|0\end{pmatrix}}$
r = n $\rightarrow$ Das System ist eindeutig lösbar Unbekannte errechnen:
-3x₃ = 0 / : -3
   x₃ = 0

-2x₂ = 4 / : -2
   x₂ = -2

 4x₁ = 4 / : 4
   x₁ = 1

x = ${\begin{pmatrix}x1\\x2\\x3\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}}$

Zusatz von JInformatics:

Die Lösung stimmt, aber man kann durch geschicktes (und nicht kompliziertes) vereinfachen der Matrix , links eine Einheitsmatrix hinbekommen und somit die Lösung sofort ablesen.

${\begin{pmatrix}1&0&0&|1\\0&1&0&|-2\\0&0&1&|0\end{pmatrix}}$

Hilfreiches von Har203

Lineares Gleichungssystem

Gauß'sches Eliminationsverfahren

Das gaußsche Eliminationsverfahren oder einfach Gauß-Verfahren (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen und beruht darauf, dass Äquivalenzumformungen zwar das Gleichungssystem ändern, aber die Lösung erhalten. Dies erlaubt es, jedes eindeutig lösbare Gleichungssystem auf Stufenform zu bringen, an der die Lösung durch sukzessive Elimination der Unbekannten leicht ermittelt oder die Lösungsmenge abgelesen werden kann.

LGS-Äquivalenzumformungen

Allgemein gilt: Die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems ändert sich durch folgende Äquivalenzumformungen nicht:

• Vertauschen zweier Zeilen/Spalten,
• Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einem Faktor $\neq 0$,
• Addition einer Zeile/Spalte (mit einem Faktor) zu einer anderen Zeile/Spalte.

Zeilen-/Spaltenrang einer Matrix

Für eine Matrix $A$ definiert man den Zeilenraum $ZR(A)$ als die lineare_Hülle der Zeilenvektoren aus $A$. Die [Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang, sie entspricht der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.

Analog definiert man den Spaltenraum $SR(A)$ und den Spaltenrang durch die Spaltenvektoren. Man kann für Matrizen mit Elementen aus einem Körper zeigen, dass der Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist. Dies gilt für Matrizen über einem beliebigen kommutativen Ring, der kein Körper ist, im Allgemeinen nicht.

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\operatorname {rg} (f)=\dim(\operatorname {im} (f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Lösungsvorschlag von Har203

a) Wir stellen das Gleichungssystem mittels erweiterter Matrix auf:

${\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{ccc|c}2&1&1&0\\1&0&1&1\\4&0&1&4\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to -Z2\\\to 2\cdot Z2-Z1\,\\-2\cdot Z1\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{ccc|c}1&1&0&-1\\0&-1&1&2\\0&-2&-1&4\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to +Z2\,\\\to \cdot (-1)\\\to -2\cdot Z2\;\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&-1&-2\\0&0&-3&0\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to +(1/3)\cdot Z3\,\\\to (-1/3)\cdot Z3\,\\\to \cdot (-1/3);\end{array}}\to \left({\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&-2\\0&0&1&0\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Wir können nun die eindeutige Lösung ablesen: $x_{1}=1,\,x_{2}=(-2),\,x_{3}=0$. Alle drei Zahlen sind aus $\mathbb {Q}$.

b) Über dem Körper $K=\mathbb {Z} _{3}$ müssen wir die Umformungen neu und nur mit Hilfsmittel aus $\mathbb {Z} _{3}$ durchführen. Wir haben jetzt nur die Restklassen ${\overline {0}}$ bis ${\overline {2}}$. D.h. wir werden alle negativen Zahlen und Zahlen $\geq 3$ durch die entsprechende Restklasse ersetzen ($\pm \,3$ addieren). Das Gleichungssystem in $\mathbb {Z} _{3}$ schaut folgend aus

${\begin{alignedat}{1}\left({\begin{array}{ccc|c}2&1&1&0\\1&0&1&1\\1&0&1&1\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to \cdot 2\,\\\to Z1+Z2\;\\\to -Z2\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{ccc|c}1&2&2&0\\0&1&2&1\\0&0&0&0\end{array}}\right){\begin{array}{l|}\to Z1+Z2\,\\\,\\\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&2&1\\0&0&0&0\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

D.h. unsere Lösungsmatrix schaut folgend aus:

$A^{*}=\left({\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&2&1\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

Unser Lösungsraum ist für $x_{2}$ und $x_{3}$ gegeben durch $x_{2}+{\overline {2}}\cdot x_{3}={\overline {1}}$ bzw. ($+\,{\overline {2}}\cdot x_{2}$ auf beiden Seiten ($\to {\overline {2}}\cdot x_{3}={\overline {1}}+{\overline {2}}\cdot x_{2}$) und dann mit ${\overline {2}}$ multipliziert $\to$) $x_{3}={\overline {2}}+x_{2}$. Für $x_{1}$ gilt die Gleichung $\;x_{1}+x_{3}={\overline {1}}$ bzw. ($+\,{\overline {2}}\cdot x_{3}$ auf beiden Seiten) $x_{1}={\overline {1}}+{\overline {2}}\cdot x_{3}$

Das ergibt in $\mathbb {Z} _{3}$ folgende 3 Lösungen:

${\begin{array}{|c|c|c|}x_{2}&x_{3}&x_{1}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {2}}&{\overline {2}}\\{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\{\overline {2}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\end{array}}$ 

$\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Gauß'sches Eliminationsverfahren
• Lineares Gleichungssystem
• Äquivalenzumformung

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_546
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_547
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_548
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_549
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_551
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 541
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 542
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 543
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 544
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 545
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 546
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 547
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 548
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 549