TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 54

Man finde alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems:

{\begin{aligned}x_{1}&+2x_{2}&-x_{3}&+x_{4}&=2\\5x_{1}&+5x_{2}&-2x_{3}&+5x_{4}&=3\\-x_{1}&+4x_{2}&+3x_{3}&-3x_{4}&=2\\2x_{1}&+4x_{2}&&+x_{4}&=1\end{aligned}}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Koeffizientenmatrix bestimmen:

$\left({\begin{array}{c c c c | c}1&2&-1&1&2\\5&5&-2&5&3\\-1&4&3&-3&2\\2&4&0&1&1\end{array}}\right)$

Subtraktion der ersten Zeile 5mal von der zweiten und 2mal von der vierten und Addition der ersten zur dritten:

$\left({\begin{array}{c c c c | c}1&2&-1&1&2\\0&-5&3&0&-7\\0&6&2&-2&4\\0&0&2&-1&-3\end{array}}\right)$

Division der zweiten Zeile durch -5:

$\left({\begin{array}{c c c c | c}1&2&-1&1&2\\0&1&-{\frac {3}{5}}&0&{\frac {7}{5}}\\0&6&2&-2&4\\0&0&2&-1&-3\end{array}}\right)$

Subtraktion der zweiten Zeile 6mal von der dritten:

$\left({\begin{array}{c c c c | c}1&2&-1&1&2\\0&1&-{\frac {3}{5}}&0&{\frac {7}{5}}\\0&0&{\frac {28}{5}}&-2&-{\frac {22}{5}}\\0&0&2&-1&-3\end{array}}\right)$

Multiplikation der dritten Zeile mit ${\frac {5}{28}}$ :

$\left({\begin{array}{c c c c | c}1&2&-1&1&2\\0&1&-{\frac {3}{5}}&0&{\frac {7}{5}}\\0&0&1&-{\frac {5}{14}}&-{\frac {11}{14}}\\0&0&2&-1&-3\end{array}}\right)$

Subtraktion der dritten Zeile 2mal von der vierten:

$\left({\begin{array}{c c c c | c}1&2&-1&1&2\\0&1&-{\frac {3}{5}}&0&{\frac {7}{5}}\\0&0&1&-{\frac {5}{14}}&-{\frac {11}{14}}\\0&0&0&-{\frac {2}{7}}&-{\frac {10}{7}}\end{array}}\right)$

Multiplikation der vierten Zeile mit $-{\frac {7}{2}}$ :

$\left({\begin{array}{c c c c | c}1&2&-1&1&2\\0&1&-{\frac {3}{5}}&0&{\frac {7}{5}}\\0&0&1&-{\frac {5}{14}}&-{\frac {11}{14}}\\0&0&0&1&5\end{array}}\right)$

Subtraktion der vierten Zeile von der ersten und Addition der vierten Zeile ${\frac {5}{14}}$ mal zur dritten:

$\left({\begin{array}{c c c c | c}1&2&-1&0&-3\\0&1&-{\frac {3}{5}}&0&{\frac {7}{5}}\\0&0&1&0&1\\0&0&0&1&5\end{array}}\right)$

Addition der dritten Zeile zur ersten 1mal und zur zweiten Zeile ${\frac {3}{5}}$ mal:

$\left({\begin{array}{c c c c | c}1&2&0&0&-2\\0&1&0&0&2\\0&0&1&0&1\\0&0&0&1&5\end{array}}\right)$

Subtraktion der zweiten Zeile 2mal von der ersten:

$\left({\begin{array}{c c c c | c}1&0&0&0&-6\\0&1&0&0&2\\0&0&1&0&1\\0&0&0&1&5\end{array}}\right)$

Daraus ergibt sich $x_{1}=-6$ , $x_{2}=2$ , $x_{3}=1$ und $x_{4}=5$ .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gleichungssystem:

  a + 2b - c + d = 2

  5a + 5b - 2c + 5d = 3

  -a + 4b + 3c - 3d = 2

  2a + 4b + 0c + d = 1

Umformen und sortieren (Variablen alphabetisch links, Konstanten rechts):

  a + 2b - c + d = 2

  5a + 5b - 2c + 5d = 3

 -a + 4b + 3c - 3d = 2

  2a + 4b + d = 1

Stelle die Koeffizientenmatrix auf. Reihenfolge der Variablen: a, b, c, d, Konstante

    1     2   - 1     1     2

    5     5   - 2     5     3

  - 1     4     3   - 3     2

    2     4     0     1     1

Das Diagonalenfeld der 1. Zeile ist bereits 1.

Mit der 1. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 1. Spalte auf 0 gebracht.

Zur 2. Zeile wird das -5fache der 1. Zeile addiert:

    1     2   - 1     1     2

    0   - 5     3     0   - 7

  - 1     4     3   - 3     2

    2     4     0     1     1

Zur 3. Zeile wird die 1. Zeile addiert:

    1     2   - 1     1     2

    0   - 5     3     0   - 7

    0     6     2   - 2     4

    2     4     0     1     1

Zur 4. Zeile wird das -2fache der 1. Zeile addiert:

    1     2   - 1     1     2

    0   - 5     3     0   - 7

    0     6     2   - 2     4

    0     0     2   - 1   - 3

Durch Division der 2. Zeile durch -5 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:

    1     2   - 1     1     2

                3           7   
    0     1   - —     0     —   
                5           5

    0     6     2   - 2     4

    0     0     2   - 1   - 3

Mit der 2. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 2. Spalte auf 0 gebracht.

Zur 1. Zeile wird das -2fache der 2. Zeile addiert:

                1           4   
    1     0     —     1   - —   
                5           5

                3           7   
    0     1   - —     0     —   
                5           5

    0     6     2   - 2     4

    0     0     2   - 1   - 3

Zur 3. Zeile wird das -6fache der 2. Zeile addiert:

                 1            4   
    1     0      —     1    - —   
                 5            5

                 3            7   
    0     1    - —     0      —   
                 5            5

                28           22   
    0     0     ——   - 2   - ——   
                 5            5

    0     0      2   - 1    - 3

Durch Multiplikation der 3. Zeile mit 5/28 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:

                1             4   
    1     0     —      1    - —   
                5             5

                3             7   
    0     1   - —      0      —   
                5             5

                       5     11   
    0     0     1   - ——   - ——   
                      14     14

    0     0     2    - 1    - 3

Mit der 3. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 3. Spalte auf 0 gebracht.

Zur 1. Zeile wird das -1/5fache der 3. Zeile addiert:

                      15      9   
    1     0     0     ——   - ——   
                      14     14

                3             7   
    0     1   - —      0      —   
                5             5

                       5     11   
    0     0     1   - ——   - ——   
                      14     14

    0     0     2    - 1    - 3

Zur 2. Zeile wird das 3/5fache der 3. Zeile addiert:

                      15      9   
    1     0     0     ——   - ——   
                      14     14

                       3     13   
    0     1     0   - ——     ——   
                      14     14

                       5     11   
    0     0     1   - ——   - ——   
                      14     14

    0     0     2    - 1    - 3

Zur 4. Zeile wird das -2fache der 3. Zeile addiert:

                      15      9   
    1     0     0     ——   - ——   
                      14     14

                       3     13   
    0     1     0   - ——     ——   
                      14     14

                       5     11   
    0     0     1   - ——   - ——   
                      14     14

                       2     10   
    0     0     0    - —   - ——   
                       7      7

Durch Multiplikation der 4. Zeile mit -7/2 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:

                      15      9   
    1     0     0     ——   - ——   
                      14     14

                       3     13   
    0     1     0   - ——     ——   
                      14     14

                       5     11   
    0     0     1   - ——   - ——   
                      14     14

    0     0     0      1      5

Mit der 4. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 4. Spalte auf 0 gebracht.

Zur 1. Zeile wird das -15/14fache der 4. Zeile addiert:

    1     0     0      0    - 6

                       3     13   
    0     1     0   - ——     ——   
                      14     14

                       5     11   
    0     0     1   - ——   - ——   
                      14     14

    0     0     0      1      5

Zur 2. Zeile wird das 3/14fache der 4. Zeile addiert:

    1     0     0      0    - 6

    0     1     0      0      2

                       5     11   
    0     0     1   - ——   - ——   
                      14     14

    0     0     0      1      5

Zur 3. Zeile wird das 5/14fache der 4. Zeile addiert:

    1     0     0     0   - 6

    0     1     0     0     2

    0     0     1     0     1

    0     0     0     1     5

In der letzten Spalte stehen die Lösungen.

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 397 (ähnliches Beispiel)

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 54

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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