TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 57

Man bestimme sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$A={\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}$.

Lösungsvorschlag

Eigenwerte

$\lambda \cdot I_{3}-A={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda -2&-1&1\\-1&\lambda -1&0\\1&0&\lambda -1\end{pmatrix}}$

Die Eigenwerte (Nullstellen) sind $\lambda _{1}=0$, $\lambda _{2}=1$ und $\lambda _{3}=3$.

Eigenvektoren

${\begin{alignedat}{2}(\lambda \cdot I_{3}-A)\cdot x&=0\\\left({\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}\right)\cdot x&=0\end{alignedat}}$

Eigenvektor $\lambda _{1}=0$

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{1}&0\\0&0&\lambda _{1}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&-1&1\\-1&-1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}}$

Lösung des Gleichungssystems:

$\left({\begin{array}{c c c | c}-2&-1&1&0\\-1&-1&0&0\\1&0&-1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&0&-1&0\\-1&-1&0&0\\-2&-1&1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&0&-1&0\\0&-1&-1&0\\0&-1&-1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&0&-1&0\\0&-1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

Vereinfacht ist die Gleichung nun:

${\begin{array}{c}x_{1}-x_{3}=0\\-x_{2}-x_{3}=0\end{array}}\rightarrow {\begin{array}{c}x_{1}=x_{3}\\x_{2}=-x_{3}\end{array}}\xrightarrow {w{\ddot {a}}hle:x_{3}=1} {\begin{array}{c}x_{1}=1\\x_{2}=-1\end{array}}$ oder als Vektor: ${\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}$

Eigenvektor $\lambda _{2}=1$

${\begin{pmatrix}\lambda _{2}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-1&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

Lösung des Gleichungssystems:

$\left({\begin{array}{c c c | c}-1&-1&1&0\\-1&0&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&0&0&0\\-1&-1&1&0\\-1&0&0&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&0&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

Vereinfacht ist die Gleichung nun:

${\begin{array}{c}x_{1}=0\\x_{2}-x_{3}=0\end{array}}\rightarrow {\begin{array}{c}x_{1}=0\\x_{2}=x_{3}\end{array}}\xrightarrow {w{\ddot {a}}hle:x_{3}=1} {\begin{array}{c}x_{1}=0\\x_{2}=1\end{array}}$ oder als Vektor: ${\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}$

Eigenvektor $\lambda _{3}=3$

${\begin{pmatrix}\lambda _{3}&0&0\\0&\lambda _{3}&0\\0&0&\lambda _{3}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&2&0\\1&0&2\end{pmatrix}}$

Lösung des Gleichungssystems:

$\left({\begin{array}{c c c | c}1&-1&1&0\\-1&2&0&0\\1&0&2&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&-1&1&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&-1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

Vereinfacht ist die Gleichung nun:

${\begin{array}{c}x_{1}-x_{2}+x_{3}=0\\x_{2}+x_{3}=0\end{array}}\rightarrow {\begin{array}{c}x_{1}=x_{2}-x_{3}\\x_{2}=-x_{3}\end{array}}\xrightarrow {w{\ddot {a}}hle:x_{3}=1} {\begin{array}{c}x_{1}=-2\\x_{2}=-1\end{array}}$ oder als Vektor: ${\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}}$

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 571 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 429 (ähnliches Beispiel)