TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 57

Man bestimme sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$.

Lösungsvorschlag

Eigenwerte

$\lambda \cdot I_3-A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& 1\\ -1& \lambda -1& 0\\ 1& 0& \lambda -1\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}det(\lambda \cdot I_3-A)& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& 1\\ -1& \lambda -1& 0\\ 1& 0& \lambda -1\end{array}\right|\\ & =(\lambda -2)(\lambda -1)(\lambda -1)+(-1)(0)(1)+(1)(-1)(0)-(1)(\lambda -1)(1)-(-1)(-1)(\lambda -1)-(\lambda -2)(0)(0)\\ & =(\lambda -2)(\lambda -1)(\lambda -1)-(\lambda -1)-(\lambda -1)\\ & =(\lambda -2)({\lambda }^2-2\lambda +1)-2\lambda +2\\ & ={\lambda }^3-2{\lambda }^2+\lambda -2{\lambda }^2+4\lambda -2-2\lambda +2\\ & ={\lambda }^3-4{\lambda }^2+3\lambda \\ & =\lambda \cdot ({\lambda }^2-4\lambda +3)\\ & =\lambda \cdot (\lambda -1)\cdot (\lambda -3)\end{array}$

Die Eigenwerte (Nullstellen) sind ${\lambda }_1=0$, ${\lambda }_2=1$ und ${\lambda }_3=3$.

Eigenvektoren

$\begin{array}{cc}(\lambda \cdot I_3-A)\cdot x& =0\\ (\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right))\cdot x& =0\end{array}$

Eigenvektor ${\lambda }_1=0$

$\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_1& 0\\ 0& 0& {\lambda }_1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 1\\ -1& -1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$

Lösung des Gleichungssystems:

$\left(\begin{array}{cccc}-2& -1& 1& 0\\ -1& -1& 0& 0\\ 1& 0& -1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ -1& -1& 0& 0\\ -2& -1& 1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& -1& -1& 0\\ 0& -1& -1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& -1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Vereinfacht ist die Gleichung nun:

$\begin{array}{c}{x}_1-x_3=0\\ -x_2-x_3=0\end{array}\to \begin{array}{c}{x}_1=x_3\\ x_2=-x_3\end{array}\stackrel{w\ddot{a}hle:x_3=1}{\to }\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_2=-1\end{array}$ oder als Vektor: $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

Eigenvektor ${\lambda }_2=1$

$\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_2& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

Lösung des Gleichungssystems:

$\left(\begin{array}{cccc}-1& -1& 1& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& -1& 1& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Vereinfacht ist die Gleichung nun:

$\begin{array}{c}{x}_1=0\\ x_2-x_3=0\end{array}\to \begin{array}{c}{x}_1=0\\ x_2=x_3\end{array}\stackrel{w\ddot{a}hle:x_3=1}{\to }\begin{array}{c}{x}_1=0\\ x_2=1\end{array}$ oder als Vektor: $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Eigenvektor ${\lambda }_3=3$

$\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_3& 0& 0\\ 0& {\lambda }_3& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 2& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$

Lösung des Gleichungssystems:

$\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 0\\ -1& 2& 0& 0\\ 1& 0& 2& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Vereinfacht ist die Gleichung nun:

$\begin{array}{c}{x}_1-x_2+x_3=0\\ x_2+x_3=0\end{array}\to \begin{array}{c}{x}_1=x_2-x_3\\ x_2=-x_3\end{array}\stackrel{w\ddot{a}hle:x_3=1}{\to }\begin{array}{c}{x}_1=-2\\ x_2=-1\end{array}$ oder als Vektor: $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 571 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 429 (ähnliches Beispiel)