TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 429

Angabe

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix $A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}$

Zusatz: Man bestimme die Eigenvektoren der Matrix $A$.

Lösungsvorschlag

Eigenwerte

Aus der Formel $\det \left(A-\lambda E\right)=0$ erhalten wir das Polynom:

$\lambda ^{3}-{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}-{\frac {\lambda }{4}}-{\frac {\lambda }{4}}-{\frac {\lambda }{4}}=0$

,das sich vereinfachen läßt:

$\lambda ^{3}-{\frac {3}{4}}\cdot \lambda -{\frac {1}{4}}=0$

Eine Lösung läßt sich "erraten": $\lambda _{0}=1$

Da eine Lösung bekannt ist und sich ein Polynom dritten Grades auch als $a\cdot (\lambda -\lambda _{0})\cdot (\lambda -\lambda _{1})\cdot (\lambda -\lambda _{0})=0$ schreiben läßt, führen wir eine Polynomdivision durch (a ist der Multiplikator von $\lambda ^{3}$ und damit gleich 1).

${\frac {\lambda ^{3}-{\frac {3}{4}}\cdot \lambda -{\frac {1}{4}}}{\lambda -1}}=0$

Hier der Rechengang:

${\begin{matrix}(\lambda ^{3}&0\cdot \lambda ^{2}&-{\frac {3}{4}}\cdot \lambda &-{\frac {1}{4}})&:&(\lambda &-1)&=&\lambda ^{2}+\lambda +{\frac {1}{4}}\\{\underline {-\lambda ^{3}}}&{\underline {+\lambda ^{2}}}&&&&&&&\\0&+\lambda ^{2}&-{\frac {3}{4}}\cdot \lambda &&&&&&\\&{\underline {-\lambda ^{2}}}&{\underline {+\lambda }}&&&&&&\\&0&{\frac {1}{4}}\cdot \lambda &-{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&{\underline {-{\frac {1}{4}}\cdot \lambda }}&{\underline {+{\frac {1}{4}}}}&&&&&\\&&0&0&&&&&\\\end{matrix}}$

Auf die quadratische Gleichung $\lambda ^{2}+\lambda +{\frac {1}{4}}=0$ läßt sich die kleine Lösungsformel anwenden und führt zu den Lösungen $\lambda _{1,2}=-{\frac {1}{2}}$

Eigenvektoren

Nachdem wir die Eigenwerte gefunden haben, können wir nun die Eigenvektoren berechnen. $\lambda _{0}=1,\lambda _{1}=-{\frac {1}{2}},\lambda _{2}=-{\frac {1}{2}}$ Aus den Eigenwerten lassen sich mittels der folgenden Formel die Eigenvektoren finden: $(A-\lambda E)\cdot x=0$

Für $\lambda _{0}=1$ erhält man also: $\left({\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right)\cdot x=0$

oder: ${\begin{pmatrix}-1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-1&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&-1\end{pmatrix}}\cdot x=0$

Wir wollen nun das Ergebniss mittels Gauss. Elimination errechnen.

$\left({\begin{array}{c c c | c}-1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{2}}&-1&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&-1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&0\\0&-{\frac {3}{4}}&{\frac {3}{4}}&0\\0&{\frac {3}{4}}&-{\frac {3}{4}}&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&0&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

Vereinfacht ist die Gleichung nun:

${\begin{array}{c}x_{1}-x_{3}=0\\x_{2}-x_{3}=0\end{array}}\rightarrow {\begin{array}{c}x_{1}=x_{3}\\x_{2}=x_{3}\end{array}}\xrightarrow {w{\ddot {a}}hle:x_{3}=1} {\begin{array}{c}x_{1}=1\\x_{2}=1\end{array}}$

oder als Vektor: ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$

Für $\lambda _{1,2}=-{\frac {1}{2}}$ erhält man folgendes Gleichungssystem:

$\left({\begin{array}{c c c | c}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

Leicht verwirrend aber na gut: $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$

Sollte dann gegeben sein, wenn:

${\begin{array}{c c c}x_{1}=-x_{2}&und&x_{3}=0\\&oder&\\x_{1}=-x_{3}&und&x_{2}=0\\\end{array}}$

Womit wir die Eigenvektoren:

${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}$

gefunden hätten. Der Eigenwert $\lambda _{1,2}$ war eine Doppellösung, also sollten 2 Lösungen hier passen.

ANMERKUNG meiner Meinung nach gibt es hier 6 Lösungen, und zwar
${\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}$ und