TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 429

Angabe

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$

Zusatz: Man bestimme die Eigenvektoren der Matrix $A$.

Lösungsvorschlag

Eigenwerte

Aus der Formel $det(A-\lambda E)=0$ erhalten wir das Polynom:

${\lambda }^3-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}-\frac{\lambda }{4}-\frac{\lambda }{4}-\frac{\lambda }{4}=0$

,das sich vereinfachen läßt:

${\lambda }^3-\frac{3}{4}\cdot \lambda -\frac{1}{4}=0$

Eine Lösung läßt sich "erraten": ${\lambda }_0=1$

Da eine Lösung bekannt ist und sich ein Polynom dritten Grades auch als $a\cdot (\lambda -{\lambda }_0)\cdot (\lambda -{\lambda }_1)\cdot (\lambda -{\lambda }_0)=0$ schreiben läßt, führen wir eine Polynomdivision durch (a ist der Multiplikator von ${\lambda }^3$ und damit gleich 1).

$\frac{{\lambda }^3-\frac{3}{4}\cdot \lambda -\frac{1}{4}}{\lambda -1}=0$

Hier der Rechengang:

$\begin{array}{ccccccccc}({\lambda }^3& 0\cdot {\lambda }^2& -\frac{3}{4}\cdot \lambda & -\frac{1}{4})& :& (\lambda & -1)& =& {\lambda }^2+\lambda +\frac{1}{4}\\ \underset{\_}{-{\lambda }^3}& \underset{\_}{+{\lambda }^2}& & & & & & & \\ 0& +{\lambda }^2& -\frac{3}{4}\cdot \lambda & & & & & & \\ & \underset{\_}{-{\lambda }^2}& \underset{\_}{+\lambda }& & & & & & \\ & 0& \frac{1}{4}\cdot \lambda & -\frac{1}{4}& & & & & \\ & & \underset{\_}{-\frac{1}{4}\cdot \lambda }& \underset{\_}{+\frac{1}{4}}& & & & & \\ & & 0& 0& & & & & \end{array}$

Auf die quadratische Gleichung ${\lambda }^2+\lambda +\frac{1}{4}=0$ läßt sich die kleine Lösungsformel anwenden und führt zu den Lösungen ${\lambda }_{1,2}=-\frac{1}{2}$

Eigenvektoren

Nachdem wir die Eigenwerte gefunden haben, können wir nun die Eigenvektoren berechnen. ${\lambda }_0=1,{\lambda }_1=-\frac{1}{2},{\lambda }_2=-\frac{1}{2}$ Aus den Eigenwerten lassen sich mittels der folgenden Formel die Eigenvektoren finden: $(A-\lambda E)\cdot x=0$

Für ${\lambda }_0=1$ erhält man also: $(\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)-1\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right))\cdot x=0$

oder: $\left(\begin{array}{ccc}-1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -1\end{array}\right)\cdot x=0$

Wir wollen nun das Ergebniss mittels Gauss. Elimination errechnen.

$\left(\begin{array}{cccc}-1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& -1& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& -\frac{3}{4}& \frac{3}{4}& 0\\ 0& \frac{3}{4}& -\frac{3}{4}& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Vereinfacht ist die Gleichung nun:

$\begin{array}{c}{x}_1-x_3=0\\ x_2-x_3=0\end{array}\to \begin{array}{c}{x}_1=x_3\\ x_2=x_3\end{array}\stackrel{w\ddot{a}hle:x_3=1}{\to }\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_2=1\end{array}$

oder als Vektor: $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Für ${\lambda }_{1,2}=-\frac{1}{2}$ erhält man folgendes Gleichungssystem:

$\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Leicht verwirrend aber na gut: $x_1+x_2+x_3=0$

Sollte dann gegeben sein, wenn:

$\begin{array}{ccc}{x}_1=-x_2& und& x_3=0\\ & oder& \\ x_1=-x_3& und& x_2=0\end{array}$

Womit wir die Eigenvektoren:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

gefunden hätten. Der Eigenwert ${\lambda }_{1,2}$ war eine Doppellösung, also sollten 2 Lösungen hier passen.

ANMERKUNG meiner Meinung nach gibt es hier 6 Lösungen, und zwar
$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und