TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 160

Man bestimme die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen weder der Block "abcd" noch der Block "fa" vorkommt. (Hinweis: Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge ist $n!$).

Lösungsvorschlag von mnemetz

Betrachte

$\underset{\text{8 Auswahlen o. Wh.}}{\underbrace{\text{a b c d e f g h}}}$

Daraus folgt: $n=8$: Alle Möglichkeiten, die 8 Buchstaben anzuordnen ist 8! = 40.320.

Betrachte Anordnungsmöglichkeiten Block "abcd":

$\text{5 Anordnugen mögl. }\{\begin{array}{c}\underset{\text{4 Buchst. anordbar}}{\underbrace{\begin{array}{cccccccc}a& b& c& d& e& f& g& h\\ X& X& X& X& & & & \\ -& X& X& X& X& & & \\ -& -& X& X& X& X& & \\ -& -& -& X& X& X& X& \\ -& -& -& -& X& X& X& X\end{array}}}\end{array}$

Somit ergibt sich für die Anodnungsmöglichkeiten von "abcd":

$5\ast 4!=120$

Die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen der Block "abcd" nicht vorkommt ist somit: $8!-5\ast 4!=40320-120=40200$.

Betrachte Anordnungsmöglichkeiten Block "fa":

$\text{7 Anordnungen mögl. }\{\begin{array}{c}\underset{\text{6 Buchst. anordbar}}{\underbrace{\begin{array}{cccccccc}a& b& c& d& e& f& g& h\\ X& X& & & & & & \\ -& X& X& & & & & \\ -& -& X& X& & & & \\ -& -& -& X& X& & & \\ -& -& -& -& X& X& & \\ -& -& -& -& -& X& X& \\ -& -& -& -& -& -& X& X\end{array}}}\end{array}$

Somit ergibt sich für die Anodnungsmöglichkeiten von "fa":

$7\ast 6!=5040$

Die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen der Block "fa" nicht vorkommt ist somit: $8!-7\ast 6!=40320-5040=35280$.

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Siehe auch: TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 161, TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 162