TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 162
Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Man bestimme die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen weder der Block "acg" noch der Block "cgbe" vorkommt. (Hinweis: Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge ist ).
Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Betrachte
Daraus folgt: : Alle Möglichkeiten, die 8 Buchstaben anzuordnen ist 8! = 40.320.
Betrachte Anordnungsmöglichkeiten Block "acg":
Somit ergibt sich für die Anodnungsmöglichkeiten von "acg":
Die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen der Block "acg" nicht vorkommt ist somit: .
Betrachte Anordnungsmöglichkeiten Block "cgbe":
Somit ergibt sich für die Anodnungsmöglichkeiten von "cgbe":
Die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen der Block "cgbe" nicht vorkommt ist somit: .
Siehe auch: TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 160, TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 161
Lösungsvorschlag von Jacko[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Anzahl der Anordnungen
Menge: a,b,c,d,e,f,g,h -> n=8
Permutationen: n! = 8! = 40320
Möglichkeiten für Block "acg"
Positionsmöglichkeiten:
-> 6*5! = 720
Möglichkeiten für Block "cgbe"
Positionsmöglichkeiten:
-> 5*4! = 120
Möglichkeiten für Block "acgbe"
Da auch beide Blöcke vorkommen können besteht die Möglichkeit, dass sich diese überschneiden (ac(g)be).
Positionsmöglichkeiten:
-> 4*3! = 24
Berechnung der tatsächlichen Möglichkeiten
Hierzu wird das Inklusions-Exklusions Verfahren verwendet.
Sei 8! = |G|
Möglichkeiten für Block "acg" ... |A|
Möglichkeiten für Block "cgbe" ... |B|
Möglichkeiten für Block "acgbe" ... |AnB|
|G| - |A| - |B| + |AnB| = 8! - 6*5! - 5*4! + 4*3! = 40320 - 720 - 120 + 24 = 39 504