TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 162

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Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man bestimme die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen weder der Block "acg" noch der Block "cgbe" vorkommt. (Hinweis: Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge ist ).


Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachte

Daraus folgt: : Alle Möglichkeiten, die 8 Buchstaben anzuordnen ist 8! = 40.320.


Betrachte Anordnungsmöglichkeiten Block "acg":

Somit ergibt sich für die Anodnungsmöglichkeiten von "acg":

Die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen der Block "acg" nicht vorkommt ist somit: .


Betrachte Anordnungsmöglichkeiten Block "cgbe":

Somit ergibt sich für die Anodnungsmöglichkeiten von "cgbe":

Die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen der Block "cgbe" nicht vorkommt ist somit: .




Siehe auch: TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 160, TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 161

Lösungsvorschlag von Jacko[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anzahl der Anordnungen

Menge: a,b,c,d,e,f,g,h -> n=8

Permutationen: n! = 8! = 40320

Möglichkeiten für Block "acg"

Positionsmöglichkeiten:

-> 6*5! = 720

Möglichkeiten für Block "cgbe"

Positionsmöglichkeiten:

-> 5*4! = 120

Möglichkeiten für Block "acgbe"

Da auch beide Blöcke vorkommen können besteht die Möglichkeit, dass sich diese überschneiden (ac(g)be).

Positionsmöglichkeiten:

-> 4*3! = 24


Berechnung der tatsächlichen Möglichkeiten

Hierzu wird das Inklusions-Exklusions Verfahren verwendet.

Sei 8! = |G|

Möglichkeiten für Block "acg" ... |A|

Möglichkeiten für Block "cgbe" ... |B|

Möglichkeiten für Block "acgbe" ... |AnB|

|G| - |A| - |B| + |AnB| = 8! - 6*5! - 5*4! + 4*3! = 40320 - 720 - 120 + 24 = 39 504