TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 231

Angabe

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

$M=\mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{1\},a\circ b=a+b-ab$

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: $G\times G=G$, für $a,b\in G\to a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion von $\circ :G\times G\to G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a^{\prime }\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Lösungsvorschlag von mnemetz

Abgeschlossenheit

Für alle Elemente a und b aus der gegebenen Menge M soll bei der vorgeschriebenen Operation gelten, dass das Ergebnis wieder ein Element der gegebenen Menge M ist.

Vorschlag von mnemetz

Da die gegebene Menge M die Menge $\mathbb{Q}$ ohne 1 ist, müssen wir untersuchen, ob der Ausdruck $a+b-ab$ überhaupt Eins ergeben kann. Prüfen wir also:

$a+b-ab=1$ $a-ab=1-b$ $a\ast (1-b)=1-b$ $a=\frac{1-b}{1-b}$ $a=1$

(und b = 0)

Analog mit b zu verfahren (b = 1, a = 0).

Schlussfolgerung: Das Ergebnis der Operation $a\circ b$ ist nur dann 1, wenn entweder a oder b 1 sind, aber das ist von vornherein ausgeschlossen. Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.

Vorschlag aus dem Informatikforum (editiert von mnemetz)

Nach: https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?p=276443

Behauprung: Sei $a,b\in \mathbb{Q},a\ne 1,b\ne 1$. Dann ist $a+b-ab\ne 1$

Indirekter Beweis: Sei $a+b-ab=1$.

Aus $a+b-ab=1$ erhalte ich $a-ab=1-b$.

Für $a\ne 0$ folgt nun: $a(1-b)=1-b$ (für $a=0$ ist, wegen $0+b-0b=1$, $b=1$ ein Widerspruch zur VS)

(weil $b\ne 1$) => $a=\frac{1-b}{1-b}=1$ (Widerspruch)

Daher: Abgeschlossenheit gegeben

Assoziativität

Damit Assoziativität gegeben ist, muss gelten: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$.

Prüfen wir nun:

• Linke Seite: $a\circ (b+c-bc)=a+b+c-bc-ab-ac+abc$
• Rechte Seite: $(a+b-ab)\circ c=a+b-ab+c-ac-bc+abc$

Beide Seiten sind gleich: daher ist die Assoziativität gegeben.

Einheitselement

Für ein Einheitselement e aus M muss gelten: $a\circ e=e\circ a=a$

Wir prüfen also:

$a\circ e=a+e-ae=a$

Klar scheint nun, dass das Einheitselement e 0 sein muss. Daher existiert ein Einheitselement e.

Inverses Element

Bei der Operation $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$ soll das Einheitselement e herauskommen. Prüfen wir also:

Vorschlag von mnemetz (offensichtlich falsch)

$a\circ a^{\prime }=0$

$a+a^{\prime }-a{a}^{\prime }=0$

Es existiert daher ein inverses Element a'.

Einwand von Daniela (dadar) und Christoph (ChristophM), dokumentiert von mnemetz

Dadar: Meiner Meinung nach (bin mir nicht so sicher) existiert kein inverses Element von a, weil wenn a zB 2 dann gilt 2-2-2*(1/2)=-1. Es funktioniert nur wenn man a=0 setzt???

Wenn jetzt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a° \circ a'= 0} sein soll, ann folgt daraus:

$a+a^{\prime }-a^{\prime }\ast a=0$

$a+a^{\prime }\ast (1-a)=0$

$a^{\prime }\ast (1-a)=-a$

$a^{\prime }=-\frac{a}{1-a}$

Das ist das inverse Element. Dabei darf a nicht 1 sein, sonst erfolgt die Division durch Null, jedoch ist 1 sowieso ausgeschlossen ($M=\mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{1\}$).

Es existiert für jedes Element a aus M ein invereses Element a' .

(1 ist sowieso ausgenommen, das inverse Element von a=3 wäre $a^{\prime }=\frac{3}{2}$, und es führt zu einem korrekten Ergebnis)

Dass wir zuerst eine Fehlannahme hatten ist darauf zurückzuführen, dass wir zuerst nur die notwendige Ausschließung von 1 betrachtet hatte, und nicht weiter. Danke, ChristophR in f.thread:37787 !

Kommutativität

Es muss gelten: $a\circ b=b\circ a$

• $a\circ b=a+b-ab$
• $b\circ a=b+a-ba$

Somit ist die Kommutativität gegeben.

Schlussfolgerung

Es liegt somit eine Abelsche Gruppe vor.