TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 26

Zeigen Sie, dass ${\sqrt {5}}$ irational ist!

• Behauptung: ${\sqrt {5}}\notin \mathbb {Q}$
• Beweis:

angenommen ${\sqrt {5}}={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$, wobei $p,q\in \mathbb {N} ,q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$5={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

$5q^{2}=p^{2}$

$\Rightarrow p^{2}$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow p=5r$ (weil 5 eine Primzahl ist. -> Primfaktorzerlegung siehe Forenbeitrag unten. wurde auch in Mathematik1 Übungsgruppe GL 09.11.06 - Urbanek so abgehandelt)

$(5r)^{2}=5q^{2}$

$25r^{2}=5q^{2}$

$5r^{2}=q^{2}$

$\Rightarrow q^{2}$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 5 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 5 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind

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(aus f.thread:35452 - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)

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Grundlagen: 2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005