TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 26

Zeigen Sie, dass $\sqrt{5}$ irational ist!

• Behauptung: $\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}$
• Beweis:

angenommen $\sqrt{5}=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, wobei $p,q\in \mathbb{N},q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$5=\frac{p^2}{q^2}$

$5q^2=p^2$

$\Rightarrow p^2$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow p=5r$ (weil 5 eine Primzahl ist. -> Primfaktorzerlegung siehe Forenbeitrag unten. wurde auch in Mathematik1 Übungsgruppe GL 09.11.06 - Urbanek so abgehandelt)

$(5r{)}^2=5q^2$

$25r^2=5q^2$

$5r^2=q^2$

$\Rightarrow q^2$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 5 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 5 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind

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(aus f.thread:35452 - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)

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Grundlagen: 2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005