TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 302

Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von ${\overline {4}}x^{2}+{\overline {7}}x+{\overline {7}}={\overline {0}}$ über dem Körper $\mathbb {Z} _{11}$.

Hilfreiches

Es existiert ein Programm-Entwurf (als Text) zur Suche der Restklassen-Elemente.

Große Lösungsformel

Große Lösungsformel

$ax^{2}+bx+c=0\quad \Longrightarrow \quad x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Restklassen

Restklassen

Restklassen modulo $m$:

${\overline {a}}=\lbrace a+km|k\in \mathbb {Z} \rbrace _{m}$

Restklassenring

Restklassenring

Allgemein gilt:

Eine Restklassenring $R_{m}$ bildet einen Körper, wenn $m$ prim (ansonsten existiert i.A. kein multiplikatives Inverses).

Lösung von Baccus

(Siehe auch: evtl. aktuellere Lösung von TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 303)

Der naive Versuch, eine Lösung auf $\mathbb {Z}$ zu finden, schlägt fehl: Der Wert der Diskriminante $D=b^{2}-4ac=7^{2}-4\cdot 4\cdot 7=-63<0$ besagt, daß keine Lösung in $\mathbb {Z}$ existiert.

Auf dem Restklassenring $\mathbb {Z} /11\mathbb {Z}$ können wir die Diskriminante jedoch in den Bereich $\geq 0$ zwingen, indem wir andere Elemente aus den jeweiligen Restklassen von $\mathbb {Z} _{11}$ zur Lösung in $\mathbb {Z}$ verwenden.

Da $m=11$ prim ist, bildet $\langle \mathbb {Z} _{11},+,\cdot \rangle$ einen Körper, und die verwendeten Operationen sind definiert und abgeschlossen.

Z.B (Werte erst mit obigen Java-Programm. gefunden :-):

${\begin{array}{lll}a={\overline {4}}_{\mathbb {Z} _{11}}=4_{\mathbb {Z} },&b=7+3m|_{m=11}=40_{\mathbb {Z} },&c=7+7m|_{m=11}=84_{\mathbb {Z} }\end{array}}$:

Diskriminante $D=b^{2}-4ac={\overline {4}}^{2}-4\cdot {\overline {7}}\cdot {\overline {7}}=40^{2}-4\cdot 4\cdot 84=256\geq 0\quad \surd$ Lösung existiert (zumindest in $\mathbb {R}$ (siehe auch TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 303)).

$ax^{2}+bx+c={\overline {4}}x^{2}+{\overline {7}}x+{\overline {7}}=4x^{2}+40x+84=0\quad \Longrightarrow$

$x_{1,2}={\frac {-40\pm {\sqrt {40^{2}-4\cdot 4\cdot 84}}}{2\cdot 4}}\Rightarrow$

$x_{1}={\frac {-40+16}{8}}=-3=(-3+km)\vert _{m=11,prim}^{k=1\in \mathbb {Z} }=8\quad \in {\overline {8}}_{\mathbb {Z} _{11}}$

$x_{2}={\frac {-40-16}{8}}=-7=\cdots \quad \in {\overline {4}}_{\mathbb {Z} _{11}}$

Baccus 20:13, 11. Jan 2007 (CET)

(Danke, Poseidon!)

Anmerkung: Poseidon

Nur eine Kleinigkeit: die Zeile "$ax^{2}+bx+c={\overline {4}}x^{2}+{\overline {7}}x+{\overline {7}}=40x^{2}+4x+84=0\quad$" bei Baccus müsste eigentlich lauten: "$ax^{2}+bx+c={\overline {4}}x^{2}+{\overline {7}}x+{\overline {7}}=4x^{2}+40x+84=0\quad$" oder? Nicht böse sein wenn ich mich irre.

Anmerkung: Hapi

Rechnerisch stimme ich mit der formal schöneren Lösung von Baccus vollkommen überein. Der einzige Unterschied liegt darin, wie wir die Angabe interpretieren. Baccus meint die Lösung seien Restklassen und führt auch sehr überzeugende Argumente dafür an, ich bin eher etwas mißtrauisch da die x in der Angabe ohne Restklassenstriche sind. Würde daher vorschlagen, auf beide Möglichkeiten vorbereitet zu sein, denn beide Versionen erfüllen die Gleichung.

Die Entscheidung ist gefallen, das Ergebnis sind doch Restklassen, der Schlüsses ist "alle Lösungen" und das kann nicht nur eine sein, somit eine Restklasse.

Hapi

Links

• Java-Programm-Entwurf.
• [[f.thread:49827|Diskussion von TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 303] im Informatik-Forum]

Wikipädia:

• Quadratische Gleichung
• Restklassenring
• Restklassen
• Körper

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