TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 303

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Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von über dem Körper .

Hilfreiches[edit]

Es existiert ein Datei:M302.java.gz zur Suche der Restklassen-Elemente.
Große Lösungsformel
Große Lösungsformel[edit]

.

Restklassen
Restklassen[edit]

Restklassen modulo :

Restklassenring
Restklassenring[edit]

Allgemein gilt:

Eine Restklassenring bildet einen Körper, wenn prim (ansonsten existiert i.A. kein multiplikatives Inverses).

Lösung von Baccus[edit]

Der naive Versuch, eine Lösung auf zu finden, schlägt fehl: Der Wert der Diskriminante besagt, daß keine Lösung (in M ) existiert.


Nachdem wir aber auf dem Restklassenkörper operieren, kommen zwei Lösungsmöglichkeiten in Betracht:

  • wir verallgeimeinern die gegebenen Werte aus auf , lösen das Problem in und spezialisieren das Ergebnis wieder auf .
  • wir lösen das Problem vollständig in , wobei wir aber für die Zwischenergebnisse immer wieder passende Restklassenwerte finden müssen.


Lösung auf Z:[edit]

Auf dem Restklassenring können wir die Diskriminante in den Bereich zwingen, indem wir andere Werte aus den jeweiligen Restklassen der Angabewerte (aus ) zur Lösung in verwenden.

Z.B. (Werte mit o.g. Datei:M302.java.gz gefunden):

:

Diskriminante Lösung existiert (in ); falls die Gleichung ganzzahlig aufgeht (was sie mit den gewählten Zahlenwerten auch tut), ist die Lösung auch in .



Lösung auf Z7:[edit]

Die Diskriminante ist negativ, aber in .

Also erweitern wir z.B. mit : .

Dann ist

,

.

Kontrolle der Ergebnisse auf Z7:[edit]

(Fleißaufgabe):


Baccus 01:12, 14. Jan 2007 (CET)

(Danke Hapi, Navyseal)


Lösung von Hapi[edit]

Da man mit mit Restklassen rechen kann, sollte man für b = 2 mod 7 wie folgt einsetzen: b = 9


Das ergibt dann nach der Formel (die Restklassen darf ich ja in 7-er Schritten erweitern!)

 =   = -2 bzw. -1.

Das Einsetzen der Werte ergibt folgende Gleichungen mit Restklassen:

*(-1)² + bzw *(-2)² +

denn -2*7 und -1*7 sind zulässige Erweiterungen bei Modulo 7.

Hapi


Urbanek hat noch eine andere Lösungsvarieante gebracht:

Ergebnis 1 :

Ergebnis 2 :

Er hat statt durch Restklasse 6 dividiert mit dem Inversen davon multipliziert, was zufälligerwiese wieder 6 ist. Außerdem hat er nach jedem Rechenschritt die jeweilige Restklasse mod 7 verwendet, z.b. statt 72 nur 2, etc.

Hapi

Links[edit]

Wikipädia:

Ähnliche Beispiele: