TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 513

Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung A von $\mathbb {R} ^{3}$ in $\mathbb {R} ^{2}$ eine linare Abbildung ist?

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7x_{1}+5x_{2}\\x_{1}-2x_{3}\end{pmatrix}}$

Lösungvorschlag von superlufti:

Ok, wann ist eine Abbildung von einem Vektorraum in einen anderen linear?
Laut Skriptum, wenn
1) $f({\vec {x}}+{\vec {y}})=f({\vec {x}})+f({\vec {y}})$
2) $f(\lambda {\vec {x}})=\lambda f({\vec {x}})$

gut:
1) $A({\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}})=A({\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}})+A({\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}})$

$A({\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}})=A({\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}})+A({\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}})$

ok, nun lassen wir unsere Funktion A mal wirken

${\begin{pmatrix}7*(a_{1}+b_{1})+5*(a_{2}+b_{2})\\a_{1}+b1-2*(a_{3}+b_{3})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7*a_{1}+5*a_{2}\\a_{1}-2*a_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}7*b_{1}+5*b_{2}\\b_{1}-2*b_{3}\end{pmatrix}}$
jetzt führen wir noch die Addition rechts aus

${\begin{pmatrix}7*(a_{1}+b_{1})+5*(a_{2}+b_{2})\\a_{1}+b1-2*(a_{3}+b_{3})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7*a_{1}+5*a_{2}+7*b_{1}+5*b_{2}\\a_{1}-2*a_{3}+b_{1}-2*b_{3}\end{pmatrix}}$
dann räumen wir rechts ein bisschen auf
${\begin{pmatrix}7*(a_{1}+b_{1})+5*(a_{2}+b_{2})\\a_{1}+b1-2*(a_{3}+b_{3})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7*(a_{1}+b_{1})+5*(a_{2}+b_{2})\\a_{1}+b_{1}-2*(a_{3}+b_{3})\end{pmatrix}}$
Bedingung eins ist also erfüllt!

2) Dann schaun wir uns noch die Skalarmulitplikation an:
$\lambda A({\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}})=A({\begin{pmatrix}\lambda a_{1}\\\lambda a_{2}\\\lambda a_{3}\end{pmatrix}}$
$\lambda {\begin{pmatrix}7a_{1}-5a_{2}\\a_{1}-2a_{3}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}\lambda 7a_{1}-\lambda 5a_{2}\\\lambda a_{1}-\lambda 2a_{3}\end{pmatrix}}$
$\lambda {\begin{pmatrix}7a_{1}-5a_{2}\\a_{1}-2a_{3}\end{pmatrix}})=\lambda {\begin{pmatrix}7a_{1}-5a_{2}\\a_{1}-2a_{3}\end{pmatrix}}$
rechts und links ist äquivalent, also sollte das eine linare Abbildung sein!