TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 513

Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung A von ${ℝ}^3$ in ${ℝ}^2$ eine linare Abbildung ist?

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7x_1+5x_2\\ x_1-2x_3\end{array}\right)$

Lösungvorschlag von superlufti:

Ok, wann ist eine Abbildung von einem Vektorraum in einen anderen linear?
Laut Skriptum, wenn
1) $f(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})+f(\overrightarrow{y})$
2) $f(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})$

gut:
1) $A(\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right))=A(\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right))+A(\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right))$

$A(\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{array}\right))=A(\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right))+A(\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right))$

ok, nun lassen wir unsere Funktion A mal wirken

$\left(\begin{array}{c}7\ast (a_1+b_1)+5\ast (a_2+b_2)\\ a_1+b1-2\ast (a_3+b_3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\ast a_1+5\ast a_2\\ a_1-2\ast a_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}7\ast b_1+5\ast b_2\\ b_1-2\ast b_3\end{array}\right)$
jetzt führen wir noch die Addition rechts aus

$\left(\begin{array}{c}7\ast (a_1+b_1)+5\ast (a_2+b_2)\\ a_1+b1-2\ast (a_3+b_3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\ast a_1+5\ast a_2+7\ast b_1+5\ast b_2\\ a_1-2\ast a_3+b_1-2\ast b_3\end{array}\right)$
dann räumen wir rechts ein bisschen auf
$\left(\begin{array}{c}7\ast (a_1+b_1)+5\ast (a_2+b_2)\\ a_1+b1-2\ast (a_3+b_3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\ast (a_1+b_1)+5\ast (a_2+b_2)\\ a_1+b_1-2\ast (a_3+b_3)\end{array}\right)$
Bedingung eins ist also erfüllt!

2) Dann schaun wir uns noch die Skalarmulitplikation an:
$\lambda A(\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right))=A(\left(\begin{array}{c}\lambda a_1\\ \lambda a_2\\ \lambda a_3\end{array}\right)$
$\lambda \left(\begin{array}{c}7a_1-5a_2\\ a_1-2a_3\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}\lambda 7a_1-\lambda 5a_2\\ \lambda a_1-\lambda 2a_3\end{array}\right)$
$\lambda \left(\begin{array}{c}7a_1-5a_2\\ a_1-2a_3\end{array}\right))=\lambda \left(\begin{array}{c}7a_1-5a_2\\ a_1-2a_3\end{array}\right)$
rechts und links ist äquivalent, also sollte das eine linare Abbildung sein!