TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 554

Bestimmen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$ zur Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&3&2\\2&4&6\\-1&-2&2\end{pmatrix}}$

Hinweis

• im SS2007 ist es das Bsp 555

Lösungsvorschlag von mnemetz

$A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}*{A^{\dagger }}^{T}$

• $det(A)$ ... Determinante von A
• $A^{\dagger }$ ... Adjunkte od. algebraisches Komplement von A

Berechnung der Determinante:

$det(A)=1*4*2+3*6*(-1)+2*2*(-2)-2*4*(-1)-1*6*(-2)-2*3*2=8-18-8+8+12-12={\mathit {-10}}$

$det(A)\neq 0\Rightarrow$ A ist invertierbar!

$A^{\dagger }={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}4&6\\-2&2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}2&6\\-1&2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}2&4\\-1&-2\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}3&2\\-2&2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}1&2\\-1&2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&3\\-1&-2\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}3&2\\4&6\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&2\\2&6\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}20&-10&0\\-10&4&-1\\10&-2&-2\end{pmatrix}}$

Diese Matrix müssen wir noch transponieren:

${\begin{pmatrix}20&-10&10\\-10&4&-2\\0&-1&-2\end{pmatrix}}$

$A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}*A^{\dagger }=-{\frac {1}{10}}*{\begin{pmatrix}20&-10&10\\-10&4&-2\\0&-1&-2\end{pmatrix}}={\mathit {\begin{pmatrix}-2&1&-1\\1&-0.4&0.2\\0&0.1&0.2\end{pmatrix}}}$

MATLAB zur Verifizierung der Ergebnisse verwenden

Siehe Beispiel_553!