TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 554

Bestimmen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$ zur Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 4& 6\\ -1& -2& 2\end{array}\right)$

Hinweis

• im SS2007 ist es das Bsp 555

Lösungsvorschlag von mnemetz

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\ast {A^{†}}^T$

• $det(A)$ ... Determinante von A
• $A^{†}$ ... Adjunkte od. algebraisches Komplement von A

Berechnung der Determinante:

$det(A)=1\ast 4\ast 2+3\ast 6\ast (-1)+2\ast 2\ast (-2)-2\ast 4\ast (-1)-1\ast 6\ast (-2)-2\ast 3\ast 2=8-18-8+8+12-12=\mathit{-}10$

$det(A)\ne 0\Rightarrow$ A ist invertierbar!

$A^{†}=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ -2& 2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}2& 6\\ -1& 2\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -2\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& 2\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& -2\end{array}\right|\\ +\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 6\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 6\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}20& -10& 0\\ -10& 4& -1\\ 10& -2& -2\end{array}\right)$

Diese Matrix müssen wir noch transponieren:

$\left(\begin{array}{ccc}20& -10& 10\\ -10& 4& -2\\ 0& -1& -2\end{array}\right)$

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\ast A^{†}=-\frac{1}{10}\ast \left(\begin{array}{ccc}20& -10& 10\\ -10& 4& -2\\ 0& -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathit{-}2& 1& \mathit{-}1\\ 1& \mathit{-}0.4& 0.2\\ 0& 0.1& 0.2\end{array}\right)$

MATLAB zur Verifizierung der Ergebnisse verwenden

Siehe Beispiel_553!