TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 95

Sei $mRn\Leftrightarrow |m|\leq |n|,m,n\in \mathbb {Z}$. Ist R eine Halbordnung auf $\mathbb {Z}$?

Halbordnung

Halbordnung

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

• Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$,
• Antisymmetrie: $\forall a,b\,\in A:(aRb\wedge bRa)\Rightarrow a=b$,
• Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Damit die Relation R eine Halbordnung ist, muß sie also die Eigenschaften Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität erfüllen.

Reflexivität: $mRm$?

$|m|\leq |m|\quad \forall m\in \mathbb {Z} \Longrightarrow$ reflexiv.

Antisymmetrie: $mRn\land nRm\Rightarrow m=n$?

Aus $|m|\leq |n|\land |n|\leq |m|$ folgt $|m|=|n|$. Diese Äquivalenz ist aber nicht nur erfüllt, wenn $m=n$, sondern aufgrund der Absolutbeträge auch wenn $m=-n$, daher ist R nicht antisymmetrisch.

Von Axel:

Ich habe die Antisymmetrie ein bisserl anders gemacht, der Grund: Wenn ich das Widerlegen von "Aus |m|<=|n| und |n|<=|m| folgt |m|=|n|" als Beweisgrundlage hernehme, dann wird der Panholzer fragen woher ich wissen will, dass "Aus |m|<=|n| und |n|<=|m| folgt |m|=|n|" und "mRn und nRm impliziert n=m" Äquivalent sind ;-)

Wenn man das gleich "von hinten rum" macht geht es imho einfacher:

Beweise/Wiederlege die Annahme: Aus mRn und nRm folgt m=n fuer alle m,n Element Z.

Sei m Element Z und m groesser 0 und n = -m. Dann ist wegen |m|<=|-m| mRn gegeben, und wegen |-m|<=|m| nRm geben, aber m ungleich n, also die Annahme wiederlegt.

Von Jens: Aus $|m|\leq |n|\land |n|\leq |m|$ folgt aufgrund der Antisymmetrie der Halbordnung $\leq$, daß $|m|=|n|$. So ist die Definition der Kleiner-gleich-Relation, das mußt Du nicht extra beweisen.

Transitivität: $mRn\land nRo\Rightarrow mRo$?

${\begin{array}{rrcl}&|m|&\leq &|n|\\+&|n|&\leq &|o|\\\hline &|m|+|n|&\leq &|n|+|o|\qquad |-|n|\\&|m|&\leq &|o|\end{array}}$

Daraus folgt, daß R transitiv ist.

Da R nur die Eigenschaften Reflexivität und Transitivität erfüllt, nicht aber die Antisymmetrie, ist R keine Halbordnung auf $\mathbb {Z}$.