TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 158

In einer Menge von n Personen können 10 Personen Deutsch, 7 Englisch, 5 Französisch, 6 Deutsch und Englisch, 4 Deutsch und Französisch, 3 Englisch und Französisch, 3 alle drei Sprachen und niemand keine der drei Sprachen. Wie groß ist n?

Lösungsvorschlag von mnemetz

• Menge aller Personen die Deutsch sprechen D, $|D|=10$
• Menge aller Personen die Englisch sprechen E, $|E|=7$
• Menge aller Personen die Französisch sprechen F, $|F|=5$
• Menge aller Personen die Deutsch und Englisch sprechen $|D\cap E|=6$
• Menge aller Personen die Deutsch und Französisch sprechen $|D\cap F|=4$
• Menge aller Personen die Englisch und Französisch sprechen $|E\cap F|=3$
• Menge aller Personen die Deutsch und Englisch und Französisch sprechen $|D\cap E\cap F|=3$
• Menge aller Personen weder Deutsch noch Englisch nochFranzösisch sprechen $\varnothing$

Inklusions-Exklusionsprinzip:

$n=|D|+|E|+|F|-|D\cap E|-|D\cap F|-|E\cap F|+|D\cap E\cap F|=10+7+5-6-4-3+3=12$

Lösungsvorschlag von B86

zuerst ziehe ich die 3 Personen die alle Sprachen sprechen ab| dann 1 Person die Deutsch und Französisch spricht| dann 3 Personen die Deutsch und Englisch sprechen.

de 10 -3 = 7 | -1 = 6 | -3 = 3

en 7 -3 = 4 | ------- | -3 = 1

fr 5 -3 = 2 | -1 = 1

de-en 6 -3 = 3 | ------- | -3 = 0

de-fr 4 -3 = 1 |-1 = 0

fr-en 3 -3 = 0

alle 3 -3 = 0

bleiben 3 de, 1 en, 1 fr

Summe = 3 + 1 + 3 + 3 + 1 + 1 = 12 Personen

hab jemand einen schöneren Lösungsweg???

Anmerkung von Schakal

Für alle die nicht wissen wie man auf die Gleichung von mnemetz kommt: Inklusions-Exklusions-Prinzip - von mnemetz