TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 12

Ist $L_0=2$, $L_1=1$ und $L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$, so gilt

$L_n=[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$

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{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung

Induktionsvoraussetzung
$L_n=[(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n]$ für $n\in \mathbb{N}$
in weiterer Folge verwende ich:
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})=a$
$(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=b$

$L_n=[a^n-b^n]$
Induktionsbehauptung $L_{n+2}=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
Induktionsanfang
$L_0=(a^0+b^0)=(1+1)=2$
$L_1=(a^1+b^1)=[(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^1+(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^1]=[(\frac{1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}}{2})]=1$

Induktionsschluss
(I) $L_{n+2}=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
(II) $L_{n+2}=L_{n+1}+L_n=[a^{n+1}+b^{n+1}]+[a^n+b^n]$
Kommentar: Hier ist ein Fehler, hier wird aus der Induktionsbehauptung eingesetzt um sie zu beweisen. Siehe Diskussion.
$[a^{n+1}+b^{n+1}]+[a^n+b^n]=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
auflösen
$a^{n+1}+b^{n+1}+a^n+b^n=a^{n+2}+b^{n+2}$

umformen

$a^n+a^{n+1}-a^{n+2}=-b^n-b^{n+1}+b^{n+2}$

$a^n$ bzw. $b^n$ herausheben

$a^n(1+a-a^2)=b^n(-1-b+b^2)$

Jetzt muss bewiesen werden, dass die obige Aussage stimmt.
linke Seite: $a^n(1+a-a^2)$
rechte Seite: $b^n(-1-b+b^2)$

linke Seite: wir betrachten nur $(1+a-a^2)$ und setzen ein:
$[1+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^2]=\frac{4+2+2\sqrt{5}-1-2\sqrt{5}-5}{4}=0$

rechte Seite: wir betrachten nur $(-1-b+b^2)$ und setzen ein:
$[-1-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^2]=\frac{-4-2+2\sqrt{5}+1-2\sqrt{5}+5}{4}=0$

$a^n\ast 0=b^n\ast 0$

$0=0$

q.e.d.

Links

Ähnliches Beispiel:

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 41 neue Nummerierung 17